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COUSSIN DE BOULIGAND
Bouligand's cushion, Bouligandsches Kissen

Surface étudiée par Bouligand en 1928 [bouligand, géométrie analytique, pb ENS 1928, p 487].
Nom maison.

 
Équation cartésienne du coussin seul : .
Équation cartésienne de la surface complète, tournée d'un huitième de tour par rapport à la précédente :  ou encore , le coussin seul étant obtenu pour .
Paramétrisation du coussin seul : .
Surface quartique.

 
© Alain Esculier

Le coussin de Bouligand est le lieu des points dont la somme des distances à deux droites fixes perpendiculaires est constant (les deux droites sont les diagonales du coussin). 

Remarque : ces coussins peuvent être vus comme les frontières des boules de la norme de .
 

La surface complète est le lieu des points où la somme ou la différence de la distance aux droites est constante.
Elle possède 4 points coniques, et 4 droites passant par eux.

Les sections de cette surface par les plans x ou y = cte sont des ellipses ou des hyperboles, les sections par les plans y = +-x, sont des réunions de paraboles, et les courbes de niveau z = cte sont des généralisations de cruciformes.

Généralisation : lieu des points où la somme ou la différence de la distance à deux droites quelconques est constante.
On obtient toujours une quartique à 4 points coniques.

 
 
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© Robert FERRÉOL  2012