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(SURFACE) CUBIQUE RÉGLÉE
Cubical ruled surface, kubische Regelfläche

Les cubiques réglées sont les surfaces réglées,algébriques de degré 3.

Voir sur cette page la démonstration des affirmations ci-dessous.

Excepté les cônes et cylindres de directrice une cubique plane, les autres cubiques réglées, dites "gauches" peuvent toutes être définies de la manière suivante :

Etant donné une conique (C) située dans un plan (P),  une droite (D1), coupant (P) en O, une homographie entre les points A de (C) et B de (D1) telle que O ne soit pas un point double, la cubique réglée est la réunion des droites (AB).
 
Figure montrant la construction d'une homographie entre la conique (C) et la droite (D1), par l'intermédiaire d'une droite (d)  du plan de la conique

Il y a alors deux classes d'équivalence projective complexes suivant que la droite  (D1) et la conique (C)  sont sécantes en O (cas spécial des surfaces dites "surfaces réglées de Cayley", à ne pas confondre avec "la" surface de Cayley) ou non.

Dans le cas non sécant, la surface possède une autre directrice (D2) rencontrant la conique (C) de sorte que la surface, ayant donc deux directrices rectilignes (D1) et (D2) est une surface conoïdale, et peut se définir comme la réunion des droites rencontrant (D1), (D2) et (C) ; la droite (D2) est ligne double de la surface et contient deux points de pincement K et K' de la surface correspondant aux points où la génératrice forme avec la directrice (D1) un plan tangent à la conique (C).
Ces deux points de pincement sont réels ou imaginaires suivant que l'on peut mener depuis O des tangentes réelles ou non à la conique (C), et ces deux cas forment deux classes d'équivalence projectives réelles distinctes.
Dans la première (points-pinces réels) se trouvent le conoïde de Plücker et le parapluie de Whitney,  et dans la deuxième  (points-pinces imaginaires) se trouvent le conoïde de Zindler et la surface de Möbius.

Remarque : lorsque O est point double de l'homographie ci-dessus, la surface définie dégénère en une quadrique.

Les cubiques réglées gauches sont toutes rationnelles, et sont des cas particulier de surfaces de Steiner.
 

Cas non spécial sans point pince réel 
(b = 0) : la droite simple (D1) (verte) est intérieure au cercle, l'autre droite est la droite double (D2) .
Ici, la surface obtenue est la surface de Möbius.

 

Cas non spécial avec deux points de pincement réels (b = -2a) : la droite simple (verte) est extérieure au cercle.

 


Cas spécial (b = -a) : 
surface réglée de Cayley
la droite simple (D1) (verte) est sécante au cercle et confondue avec  (D2) .

Pour les animations ci-dessus, nous avons choisi
pour conique (C) le cercle , de point courant 
et pour droite simple (D1) la droite , de point courant  (la transformation  est bien homographique).
La droite double (D2) est alors , de point courant .

Voir aussi cubiche_rigate.html
 
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© Robert FERRÉOL, L. G. VIDIANI, Alain ESCULIER  2014