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SURFACE DÉVELOPPABLE
Developable (or torsal, or flat) surface, Torse (oder abwickelbare Fläche)

Équation aux dérivées partielles pour une surface explicite z = f (x, y)  (notations de Monge) : rt = s² (exprimant que tous les points sont paraboliques).
Pour une surface implicite  f(x,y,z)=0 : .
Pour une surface réglée (S) réunion des droites Du :

1) Si les droites D sont définies par un point  et un vecteur directeur , la paramétrisation cartésienne de (S) est: , et la CNS de développabilité est  (la distance entre la droite D et la droite Du+du  vaut ).
Le point appartenant à l'arête de rebroussement est .

Cas particulier  où la paramétrisation est  : développable des tangentes à la courbe .

Première forme quadratique fondamentale : ???

2) L'ensemble des droites M décrit une courbe gauche est une surface développable ssi .
Courbure totale nulle.
Lignes de courbure : les génératrices et leurs trajectoires orthogonales.
Lignes asymptotiques : les génératrices.
Géodésiques : les courbes qui se développent en des droites (donc en particulier les génératrices).

Intuitivement, une surface développable est une surface réglée que lon peut faire rouler sans glisser sur un plan, le contact se faisant le long dune droite, comme pour un cylindre ou un cône.

Les définitions suivantes caractérisent les surfaces développables :

DEF 1 : une surface développable est une surface réglée dont toute génératrice est stationnaire, c'est-à-dire telle que le plan tangent à la surface est le même en tout point de la génératrice.
Conditions directement équivalentes :
    - 1.1 surface réglée dont les génératrices sont paraboliques.
    - 1.2 surface réglée telle que la normale principale le long d'une génératrice engendre un plan ;
    - 1.3 surface réglée dont les génératrices sont des lignes de courbure (voir à normalie).
    - 1.4 surface réglée telle que les plans parallèles aux plans tangents passant par un point donné enveloppent le cône directeur de la surface (réunion des droites parallèles aux génératrices passant par le point).

DEF  2 : Une surface développable est une surface où chaque génératrice est sécante avec les génératrices infiniment voisines (cf. ci-dessus D et  Du+du  sont sécantes), éventuellement à l'infini (cas des cylindres).

DEF 3 : une surface développable est une surface réglée dont les génératrices possèdent une enveloppe (éventuellement réduite à un point (cas des cônes), voire un point à l'infini (cas des cylindres)).

DEF 4 : une surface développable est un cône, un cylindre ou la surface engendrée par les tangentes à une courbe 3D (ou, ce qui revient au même, la surface enveloppe des plans osculateurs à cette courbe) ; cette courbe est larête de rebroussement de la surface.

DEF 5 : une surface développable est une surface enveloppe d'une famille de plans à un paramètre.

DEF 6 : une surface développable est la surface polaire d'une courbe gauche (i.e. enveloppe des plans normaux) ; la courbe gauche est alors une développante de la surface.

DEF 7 : une surface développable est la surface enveloppe des plans rectifiants d'une courbe 3D (plans contenant la tangente et la binormale) ; la courbe gauche est alors une géodésique de la surface et la surface est appelée la développable rectifiante (en anglais : rectifying torse) de cette courbe ; la génératrice passant par M (la droite rectifiante) est dirigée par le vecteur de rotation instantané du repère de Frenet  ; le point de l'arête de rebroussement est .

DEF 8 : une surface développable est une surface de Monge à génératrice rectiligne (surface engendrée par le mouvement dune droite fixe d'un plan mobile dont tous les points ont un vecteur vitesse orthogonal à ce plan).

Ce sont des surfaces dont tous les points sont paraboliques (ou torsaux, i.e. à courbure totale nulle ou encore tels que l'un des rayons de courbure principaux est infini) ; ce qui est remarquable, c'est que réciproquement, toute surface sans méplat dont tous les points sont paraboliques est incluse dans une surface développable.

Les surfaces développables sont des surfaces applicables sur le plan, et réciproquement, toute surface applicable sur le plan de classe Cest incluse dans une surface développable. Lorsqu'on applique la surface sur le plan, on dit qu'on la développe.
La condition de classe Cest importante car on peut construire des surfaces applicables sur un plan de classe Cnon réglées ; on raconte que lorsque Darboux énonça, dans un cours à l'école normale supérieure à la fin du 19ème que "toute surface développable est réglée", l'élève Henri Lebesgue sortit son mouchoir et dit : "Montrez-moi les génératrices ! " (cf Berger p. 148).

Lorsque l'on fait rouler une surface développable à arête de rebroussement sur un plan, la trace de l'arête est une courbe ayant même relation entre l'abscisse curviligne et la courbure (mais sans torsion) et les tangentes s'appliquent l'une sur l'autre ; inversement, ceci permet de voir une surface développable comme le résultat de la torsion d'une courbe plane munie de ses tangentes.

Exemples :
    - les cônes
    - les cylindres,
    - lhélicoïde développable (dont l'arête de rebroussement est une hélice circulaire, résultant de la torsion d'un cercle), et
    - plus généralement, les surfaces d'égale pente.
    - la développable des tangentes à la parabole gauche.
    - le ruban de Möbius développable
    - l'oloïde

Voir aussi à normalie.
 
Si l'on prolonge les traverses de ces voies ferrées de montagnes russes, on obtient deux surfaces développables.

 
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© Robert FERRÉOL 2011