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HÉLICOÏDE DROIT
Right helicoid, Wendelfläche

Surface étudiée par Meusnier en 1770.
Autres noms : hélicoïde de Meusnier, surface de la vis à filet carré.

 
Équation cylindrique : .
Paramétrisations cartésiennes : 
1) dont les lignes de coordonnées sont les hélices et les droites incluses dans la surface, qui sont aussi les lignes asymptotiques
().
2) dont les lignes de coordonnées sont les hélices, ne donnant que la portion intérieure au cylindre 
3) dont les lignes de coordonnées sont les lignes de courbure.
Équation cartésienne : .
Première forme quadratique fondamentale.
Deuxième forme quadratique fondamentale
Élément d'aire : .
Courbure totale : , courbure moyenne nulle (surface minimale).
Équation des lignes de courbure.
Équation des géodésiques.
Aire d'une spire sur une largeur a.

Les hélicoïdes droits sont les hélicoïdes normaux fermés, autrement dits ceux dont la génératrice est une droite perpendiculaire (donc sécante) à l’axe. Ce sont donc aussi des conoïdes droits.
L'hélicoïde droit s'obtient comme réunion des normales principales à l'hélice circulaire.
 
L’intersection avec un cylindre d'axe Oz est formé de deux hélices circulaires images l’une de l’autre dans un  retournement d’axe Oz, dextres si h est positif, senestres sinon (c’est la double hélice de la molécule d’ADN).

 
La deuxième paramétrisation montre que l’intersection de l'hélicoïde droit avec un cylindre plein d’axe Oz et de rayon a est une surface de translation (une hélice glissant sur elle-même) ; si Oz est vertical, ces hélices sont les lignes de pente de l'hélicoïde.

Comparer avec la révolution de la sinusoïde.


 
Mais il y a d'autre hélices dans un hélicoïde droit, de pas moitié de celui des hélices génératrices : les sections par des cylindres passant par l'axe !

 

L’hélicoïde droit est, avec le plan la seule surface minimale qui soit réglée (théorème de Catalan).
 
 
Un hélicoïde droit peut être transformé continûment et isométriquement en un caténoïde, la surface restant constamment minimale et de type hélicoïdal.

Équations de cette transformation : 

Les surfaces intermédiaires sont les hélicoïdes minimaux.

En 1816 Gergonne demandait comment partager un cube en deux parties par une surface d'aire minimale fixée à deux diagonales orthogonales situées sur deux faces opposées du cube.
La réponse n'est pas, comme on pourrait le penser, une portion de paraboloïde hyperbolique (qui aurait une trace rectiligne sur les faces du cube), ni même la portion d'hélicoïde droit (qui a une trace sinusoïdale sur les faces), qui joint les deux diagonales 
(maple : plot3d([u*cos(Pi/4+v)*sqrt(2),u*sin(Pi/4+v)*sqrt(2),(2*v-Pi/2)*2/Pi], 
u=-1/(sin(Pi/4+v)*sqrt(2))..1/(sin(Pi/4+v)*sqrt(2)), v=0..Pi/2,lightmodel=light2,grid=[20,20])
qui est pourtant une surface minimale (mais ne se raccorde pas à angle droit sur les faces du cube).
La réponse, donnée par Schwarz en 1872, est une surface minimale non réglée dont les équations font intervenir des fonctions elliptiques (à droite, figure dessinée par Schwarz lui-même).
Voir [NITSCHE] p. 77.
Toute courbe plane est la projection de l'intersection d'un hélicoïde droit avec une surface de révolution ;
plus précisément, la courbe d'équation polaire dans xOy : est la projection sur xOy de l'intersection de l'hélicoïde  avec la surface de révolution .
Ci-contre par exemple, la cardioïde est la projection de l'intersection de l'hélicoïde  avec la surface de révolution 

Voir aussi à quadratrice de Dinostrate.
 

Château de Blois

Épluchure de crayon, par Lévi Capareda
Un escalier en hélice habituel est un demi-hélicoïde droit (à droite : château de Blois)

 

C'est Léonard de Vinci qui eut l'idée de l'escalier à double hélice, réalisé au château de Chambord : c'est alors un hélicoïde complet ; on le retrouve aussi dans la statue de la liberté.


 
 
Vis à filet carré

Vis sans fin

 

 

Les pâtes torsadées appelées "torsettes",  "torti" ou "fusilli" en italien sont de superbes hélicoïdes. L'exemple de droite (Barilla) est formé de 3 demi-hélicoïdes


Sculpture de Paul Bloch

 
 
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© Robert FERRÉOL 2012