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HÉLICOÏDE MINIMAL
Minimal helicoid, minimale Schraubenfläche

Surfaces étudiées par Scherk en 1834.
Parfois aussi appelées surfaces de Scherk (voir les autres surface de Scherk ici).
Voir Darboux p. 328.

 
Paramétrisation cartésienne : .

Les hélicoïdes qui sont des surfaces minimales ont la paramétrisation ci-dessus. Ils sont tous localement isométriques entre eux.
Pour a = 0, on obtient le caténoïde, et pour , l'hélicoïde droit.
 
La paramétrisation ci-dessus provient de la paramétrisation de Weierstrass d'une surface minimale : en prenant .

Les hélicoïdes minimaux diffèrent donc uniquement par leur angle de Bonnet  ; et l'animation ci-dessus représente en quelque sorte une rotation complexe d'un hélicoïde droit.
 
 
La ligne de coordonnée obtenue pour u = 0 dans la paramétrisation ci-dessus est une hélice circulaire qui est une géodésique de l'hélicoïde minimal ; celui-ci est donc une surface de Björling associée à une hélice circulaire. Dans le cas du caténoïde, l'hélice devient un cercle et dans la cas de l'hélicoïde droit, elle devient l'axe.

Les lignes de coordonnée pour constant sont des hélices caténoïdiques ; ce sont des génératrices de l'hélicoïde. Dans le cas du caténoïde, elle deviennent des chaînettes, et dans le cas de l'hélicoïde droit, des droites perpendiculaires à l'axe.


 
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© Robert FERRÉOL  2011