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SURFACE AUTO-PARALLÈLE, SURFACE DE LARGEUR CONSTANTE
Self-parallel surface, surface of constant width, selbstparallele Fläche, Fläche konstanter Breite (oder 3D-Gleichdick)




1)  Surface auto-parallèle.

Une surface auto-parallèle est une surface connexe parallèle à elle-même (avec une distance non nulle).

Exemples :
    - la sphère est auto-parallèle avec une distance de parallélisme égale à son diamètre.
    - les surfaces parallèles à un ruban de Moebius sont auto-parallèles.

Voir aussi les courbes auto-parallèles.

2) Surface de largeur constante.
 
Autres nom : surface d'épaisseur constante, (surface) sphéroforme.
Biblio :
Marc Roux, Ensembles gonflés en dimension n
images.math.cnrs.fr/Le-triangle-de-Reuleaux.html
T. Bayen, J.-B. Hiriart-Urruty, Objets convexes de largeur constante (en 2D) ou díépaisseur constante (en 3D) : du neuf avec du vieux.
Thèse de T. Bayen

Etant donné un convexe compact K de l'espace, on définit sa largeur dans une direction de droite D comme la longueur de la projection orthogonale de K sur D, longueur qui est aussi la plus petite largeur d'une bande orthogonale à D et contenant K, ou, ce qui revient au même, la distance entre deux plans d'appui du convexe K qui sont orthogonaux à D.

Le convexe K est alors dit "de largeur constante" si cette largeur ne dépend pas de la direction  D et une surface est dite "de largeur constante" si elle est la frontière d'un convexe compact de largeur constante. Autrement dit K soit de largeur constante est qu'on puisse le faire prendre toutes les positions possibles dans l'espace limité par deux plans parallèles de sorte que les deux plans restent constamment en contact avec K.

Le lien avec le 1) vient de ce que toute surface auto-parallèle (avec une distance de parallélisme d) convexe (i.e. frontière d'un convexe compact) est une surface de largeur constante d .

Exemples autres que la sphère :
 
La surface de révolution engendrée par rotation d'un triangle de Reuleaux autour d'un de ses axes de symétrie est une surface de largeur constante. Plus généralement, toutes les surfaces de révolution engendrées à partir d'une courbe de largeur constante ayant un axe de symétrie sont de largeur constante.
Le tétraèdre de Reuleaux, formé de quatre portions de sphères centrées aux sommets d'un tétraèdre régulier, n'est, lui, pas une surface de largeur constante. La distance entre deux points situés au milieu de deux arêtes opposées est supérieure à la distance d'un sommet à la face opposée.
Mais on peut modifier le tétraèdre de Reuleaux de sorte à ce qu'il devienne de largeur constante.
Voir à solide de Meissner.

Voir les courbes de largeur constante.
 
 
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© Robert FERRÉOL 2015