(hyperboloïde à une nappe et paraboloïde hyperbolique,
cas réglé)
,où P est un polynôme du second degré.
La quadrique est dite propre si la forme homogène
est non dégénérée, c'est-à dire de rang
4 (ce qui revient à dire que la surface est lisse).
Lorsque le rang de cette forme vaut 3, on obtient les cônes et cylindres du second degré et lorsqu'il est inférieur ou égal à 2, la quadrique est décomposée en réunion de deux plans.
Équation cartésienne réduite (à
isométrie près) des quadriques : 
avec 
.
I) Classification affine réelle.
A transformation affine près, Il y a 9 cas réels,
non vides, non décomposés et non réduits à
un point, 5 propres et 4 de rang 3 :
1) Les trois 
non nuls de mêmes signes : ellipsoïde
d'équation réduite 
.
2), 3) et 4) Les trois
non nuls et non de mêmes signes : hyperboloïde
à une nappe, à
deux nappes ou cône
elliptique (de rang 3) d'équations réduites respectives 
.
5), 6) L'un des
nul, les deux autres de mêmes signes : paraboloïde
elliptique : 
ou cylindre
elliptique (de rang 3) : 
.
7), 8) L'un des
nul, les deux autres de signes contraires : paraboloïde
hyperbolique : 
ou cylindre hyperbolique
(de rang 3) : 
.
9) Deux des
nuls, l'autre non : cylindre
parabolique (de rang 3) : 
.
II) Classification projective réelle.
Il n'y a plus que 2 types propres non vides :
ellipsoïde, paraboloïde elliptique, hyperboloïde à 2 nappes : quadriques propres à points elliptiques |
  
A homographie près, ces 3 quadriques sont les mêmes ! |
et 
hyperboloïde à une nappe paraboloïde hyperbolique : quadriques propres réglées (à points hyperboliques) |
 
Idem pour celles-ci. |
et un type non vide de rang 3 : 
.
III) Classification projective complexe :
Un type propre : 
et un type de rang 3 : 
.