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ROTOÏDE
Rotoid


Rotoïde réglé normal fermé d'âme un horoptère


Autre dénomination : hélicoïde généralisé.
Site de Thérèse Eveillau.
Site d'Alain Esculier.

 
Pour une courbe centrale  de point courant  et d'abscisse curviligne s, paramétrisation du rotoïde de génératrice 
où  et ,  l'angle y étant l'angle de torsion de la courbe centrale (voir les notations).
h est le pas réduit du rotoïde et 2ph son pas.

On désigne par rotoïde toute surface engendré par un vissage régulier d'une courbe (la génératrice) autour d'une courbe fixe (la "courbe centrale", ou "âme" du rotoïde).
L’intersection du rotoïde avec un tube de même courbe centrale est une réunion de solénoïdes de pas réduit h.
Lorsque h est positif, le rotoïde est dit dextre, et senestre dans le cas contraire.

Lorsque la courbe centrale est rectiligne, on retrouve les hélicoïdes.

Lorsque la génératrice est une droite, on obtient les rotoïdes réglés, avec des définitions similaires à celles des hélicoïdes réglés.

La surface de Möbius est un rotoïde réglé normal fermé de courbe centrale un cercle.

Lorsque le centre d'un polygone régulier se déplace le long d'une courbe, perpendiculairement à elle, avec un mouvement de torsion régulier, les côtés du polygone tracent une surface que nous appellerons "prisme rotoïdal". Chaque "face" de ce "prisme" est une portion de rotoïde réglé normal ouvert.
Pour le cas d'une courbe centrale rectiligne, voir à hélicoïde réglé.

Dans le cas d'une courbe centrale circulaire, d'un polygone (convexe) à n côtés, et d'une torsion de k n-ièmes de tour pour une révolution, on obtient une surface composée de d = PGCD(n, k) "faces" (au bout d'une révolution le côté n° x du polygone va se raccorder au côté n° x+k modulo n). De plus les "arêtes" sont également au nombre de d, et forment un entrelacs torique de type (k, n) : chaque composante tourne n/d fois autour de l'axe, et s'enroule k/d fois autour du tore.
En particulier, si n et k sont premiers entre eux, le prisme rotoïdal n'a qu'une "face" et qu'une arête.

Exemples pour n = 3 :
 
k = 1 : une face, une arête non nouée k = 2 : une face, une arête nouée en noeud de trèfle k = 3 : trois faces (faux rubans de Möbius à 2 demi-torsions), trois arêtes (cercles de Villarceau du tore, faux anneaux de Borromée) k = 4 : une face, une arête, noeud torique de type (4,3), noeud premier à 8 croisements.

Exemples pour n = 4 :
 
k = 1 : une face, une arête non nouée k = 2 : deux faces, deux arêtes non nouées, formant un noeud de Salomon k = 3 : une face, une arête, noeud torique de type (3,4), noeud premier à 8 croisements. k = 4 : 4 faces (faux rubans de Möbius à 4 demi-torsions), 4 arêtes (cercles de Villarceau)

Exemples pour n = 6 :
 
k = 1 : une face, une arête non nouée k = 2 : deux faces, deux arêtes non nouées k = 3 : trois faces, trois arêtes, entrelacs torique de type (3,6). k = 4 : deux faces, deux arêtes non nouées, entrelacs torique de type (4,6).

 
 
Ci-contre, une vue du cas n = 4, k = 2 ; si l'on contracte le carré traceur en un segment, (autrement dit, si l'on colle les deux arêtes entre elles), on obtient un ruban de Möbius.

On peut donc voir aussi ce solide comme un ruban de Möbius qui aurait été découpé dans du carton épais, la largeur du ruban étant égale à l'épaisseur du carton.


 
Généralisation au cas où k est un rationnel p/q.
La section droite de la surface obtenue est un composé de q polygones à n côtés, soit un polygramme de symbole {qn/q}.
Ci-contre le cas n = 3, p =1, q =2.

Jeu : trouver les valeurs de n et k dans les sculptures ci-dessous :
 
Oeuvre photographiée au musée du compagnonage à Tours Oeuvre de Jean-Daniel Huyghe  Oeuvre de Christophe Chini

 
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© Robert FERRÉOL  2016