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SOMME CONNEXE DE DEUX SURFACES
Connected
sum of two surfaces, zusammenhängende Summe zweier Flächen
La somme connexe de deux surfaces;connexes et est la surface, définie à homéomorphisme près, obtenue en retirant un ouvert homéomorphe à un disque à chacune des surfaces, et en identifiant les bords ; notation : , voire 2S pour la somme de deux surfaces homéomorphes.
Exemples :
- la somme connexe de deux sphères
est une sphère :
(en fait la sphère est l'élément neutre de cette opération).
- la somme connexe de deux plans
projectifs réels est une bouteille
de Klein : .
- la somme connexe de trois plans
projectifs réels (donc d'une bouteille de Klein et d'un plan
projectif) est topologiquement équivalente à la somme d'un
tore
et d'un plan projectif réel :
; on obtient la surface de Dick.
Le théorème de classification des surfaces
compacte sans bord énonce qu'une telle surface est soit du type
(n entier naturel), autrement dit, tore
à n trous (si elle a deux faces), soit
(n entier > 0), si elle n'a qu'une face.
On peut imager ce théorème en disant que
toute surface compacte sans bord est homéomorphe à une sphère
munie d'un certain nombre de poignées classiques (des tores) et
de poignées de Möbius (des plans projectifs), 2 poignées
de Möbius pouvant être échangées avec une poignée
classique, à condition qu'il reste au moins un autre poignée
de Möbius.
Voir aussi la caractéristique d'Euler-Poincaré.
Comparer avec la somme connexe avec la composition
des noeuds.
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© Robert FERRÉOL 2013