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TORE DE DIMENSION n
n-dimensional torus, n-dimensionaler Torus

On désigne par tore (ou hypertore) de dimension n tout espace topologique homéomorphe au produit cartésien d'un cercle n fois par lui-même, noté , équivalent au quotient  ; c'est donc une variété de dimension n.

Pour n = 1 on obtient le cercle , pour n = 2, le tore usuel, et pour n = 3, une variété de dimension 3 appelée en général hypertore tout court.

Un modèle du tore de dimension n plongé dans  est le tore de Clifford de dimension n.
pb : existe-t-il un modèle plongé dans R^(n+1) ?

De même qu'on peut voir le tore usuel comme un carré plein dont les côté opposés ont été  identifiés, le tore de dimension n peut être vu comme un hypercube de dimension n plein dont les n-1-cellules opposées ont été identifiées (l'identification se fait par symétrie par rapport à un hyperplan) ; l'hypertore est donc un cube dont on a identifié les faces opposées par symétrie plane.

Une façon de se représenter l'hypertore de dimension 3 est d'imaginer une pièce rectangulaire dont les murs plafond et sol sont tapissés de "miroirs" d'un type spécial : un observateur, au lieu de voir sa face reflétée dans le miroir verra son dos, avec main droite située à droite, main gauche à gauche.
 
Le jeu vidéo portal permet ce genre de représentation ; dans ce jeu, un tir dans un premier mur ouvre un portail jaune et un deuxième tir ouvre un portail bleu qui se trouve être exactement l'autre face du portail jaune que l'on vient d'ouvrir. Si donc par exemple les deux murs sont l'un en face de l'autre, on réalise l'identification des deux murs souhaitée.
Pour réaliser l'hypertore, il faudrait ouvrir 3 portails jaunes et 3 portails bleus sur les 3 couples de faces opposées de la pièce.

Télécharger ce logiciel permettant de visualiser les divers espaces tridimensionnels, dont l'hypertore :
http://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/index.html

 

Ne pas confondre le tore de dimension n, avec le tore à n trous ; en particulier, .
 
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© Robert FERRÉOL 2008