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TRINOÏDE, n-NOÏDE
Trinoid, n-noid



binoïde, ou caténoïde

trinoïde


 

quadrinoïde


 
Surface étudiée par Jorge et Meeks en 1983.
Le nom a été formé sur le préfixe tri- et le suffixe -noïde, provenant de caténoïde.

 
Paramétrisation du trinoïde :
[-1/9*(-3*exp(2*u)-3*exp(u)*cos(v)3*exp(3*u)*cos(v)+8*ln(2*exp(u)*cos(v)+ 1+exp(2*u))*exp(2*u)*cos(v)^2+4*ln(-2*exp(u)*cos(v)+ 1+exp(2*u))*exp(u)*cos(v)- 4*ln(4*exp(2*u)*cos(v)^2+ exp(4*u)+ 2*exp(3*u)*cos(v)-exp(2*u) +2*exp(u)*cos(v)+1)*exp(2*u)*cos(v)^2 +2*ln(-2*exp(u)*cos(v)+1+exp(2*u))-ln(4*exp(2*u)*cos(v)^2+exp(4*u)+2*exp(3*u)*cos(v)-exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)-2*ln(4*exp(2*u)*cos(v)^2+exp(4*u)+2*exp(3*u)*cos(v)-exp(2*u)+ 2*exp(u)*cos(v)+1)*exp(u)*cos(v)+ 4*ln(-2*exp(u)*cos(v)+1+exp(2*u))*exp(3*u)*cos(v)-2*ln(4*exp(2*u)*cos(v)^2+exp(4*u)+ 2*exp(3*u)*cos(v)-exp(2*u)+ 2*exp(u)*cos(v)+1)*exp(3*u)*cos(v)- 2*ln(-2*exp(u)*cos(v)+1+exp(2*u))*exp(2*u)+ 2*ln(-2*exp(u)*cos(v)+ 1+ exp(2*u))*exp(4*u)+ ln(4*exp(2*u)*cos(v)^2+ exp(4*u)+ 2*exp(3*u)*cos(v)- exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)*exp(2*u)-ln(4*exp(2*u)*cos(v)^2+ exp(4*u)+ 2*exp(3*u)*cos(v)-exp(2*u)+ 2*exp(u)*cos(v)+1)*exp(4*u))/(4*exp(2*u)*cos(v)^2+ exp(4*u)+ 2*exp(3*u)*cos(v)-exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1), 
1/9*(3^(1/2)*ln((3^(1/2)*exp(u)*sin(v)+ exp(u)*cos(v)+1+ exp(2*u))/(exp(u)*cos(v)+1+ exp(2*u)-3^(1/2)*exp(u)*sin(v)))+ 6*exp(2*u)*cos(v)*sin(v)+3*exp(u)*sin(v)-8*3^(1/2)*ln((3^(1/2)*exp(u)*sin(v)+ exp(u)*cos(v)+1+exp(2*u))/(exp(u)*cos(v)+1+exp(2*u)-3^(1/2)*exp(u)*sin(v)))*exp(3*u)*cos(v)^3+3*exp(5*u)*sin(v)+3^(1/2)*ln((3^(1/2)*exp(u)*sin(v)+exp(u)*cos(v)+1+exp(2*u))/(exp(u)*cos(v)+1+exp(2*u)-3^(1/2)*exp(u)*sin(v)))*exp(6*u)+ 6*3^(1/2)*ln((3^(1/2)*exp(u)*sin(v)+ exp(u)*cos(v)+1+ exp(2*u))/(exp(u)*cos(v)+1+exp(2*u)-3^(1/2)*exp(u)*sin(v)))*exp(3*u)*cos(v)+ 6*exp(4*u)*cos(v)*sin(v))/(1+exp(6*u)+6*exp(3*u)*cos(v)-8*exp(3*u)*cos(v)^3), 
2/3*exp(3*u)*(4*cos(v)^3-3*cos(v)-exp(3*u))/(1+exp(6*u)+6*exp(3*u)*cos(v)-8*exp(3*u)*cos(v)^3)]

Le trinoïde, et plus généralement les n-noïdes sont des surfaces minimales ayant une symétrie de rotation d'ordre n et n nappes infinies du type de celle du caténoïde (et ce qu'on pourrait appeler le binoïde n'est d'ailleurs autre que le caténoïde).
On les obtient en prenant  (puis ) dans la paramétrisation de Weierstrass d'une surface minimale.


Série des n = 2,3,4,5-noïdes, avec bords en pétales, par Alain Esculier.

Ces surfaces se généralisent aux surfaces de courbure moyenne constante (non forcément nulle) ayant une symétrie d'ordre n, voir par exemple ici.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2014