SURFACE DE VÉRONÈSE
Veronese surface, veronesesche Fläche
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SURFACE DE VÉRONÈSE
Veronese surface, veronesesche Fläche
| Giuseppe Veronese (1854-1917) : mathématicien italien. |
Paramétrisation cartésienne :  ,
avec  . |
La surface de Véronèse est l'image
de la sphère de dimension 2 quotientée par la relation d'antipodie
(autrement dit le plan projectif réel), par l'application : 
.
Cette application étant injective, la surface de
Véronèse est une surface (i.e. une variété
de dimension 2) sans singularité plongée dans R5
(puisqu'incluse dans l'hyperplan 
de R6)
et homéomorphe au plan projectif réel.
La "projection" 
détermine un homéomorphisme de la surface de Véronèse sur son image, qui réalise donc un plongement du plan projectif réel dans R4.
Par contre, toutes les "projections" de cette surface
dans R4
, appelées surfaces de Steiner,
ont des singularités.
La "projection" 
envoie la surface de Véronèse sur la surface
romaine, et la projection 
l'envoie sur le bonnet croisé.
Berger 1 p. 123
Perrin page 74
Y en a-t-il dans R4?
The Veronese variety is a smooth, 2-dimensional surface,
given by embedding the projective plane into projective 5-space by the
homogeneous parametric equations
[u0:u1:u2] --> [u0^2:u1^2:u2^2:u1*u2:u0*u2:u0*u1]. This
surface can be projected into 4-space smoothly, but any projection into
three dimensional space must
have singularities. The images of the surface in 3-space
are called Steiner surfaces, which have many interesting geometric properties;
examples include the Roman
surface and the Cross Cap surface. The number and type
of singularities, such as pinch points, double lines, and triple points,
depends on the projection from five
ambient dimensions to three.
Voir perrin
La surface de Véronèse permet d'étudier
toutes les coniques du plan ??? (hauchecorne)
et le sfrs (CNDP ) 96 bvd raspail film de 1977 9mn C et
NB tf Banchoff brown
university au labo d'info de Brown university "grace
à leur technique de
représentation de la 4ème dimension par
projections animées sur des
hyperplans de dimension 3, les auteurs présentent
la surface de Véronèse qui
est un plongement du plan projectif dans un espace de
dim 6. cette surface
est d'abord projetée sur un espace de dimension
4
Voir Beger 1 p 123
voir Berger et Gostiaux géométrie
différentielle (Colin) p 61, 100, 260
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© Robert FERRÉOL ,
Jacques MANDONNET 2001