ENTRELACS
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Un peu de théorie et des activités.

I) DIAGRAMME PLAN D'UN ENTRELACS
 
Un entrelacs est un ensemble fini de courbes fermées dans l'espace (les brins), ne se coupant pas, ni elles mêmes, ni deux à deux. On considère comme équivalents deux entrelacs si on peut déformer continûment l'un en l'autre, sans coupures.

Si l'on projette un entrelacs sur un plan, on obtient, quitte à déformer localement les brins, un ensemble de courbes dont les croisements ne font intervenir que deux courbes au maximum.

En fait, on obtient un graphe planaire (i.e. dont les arêtes ne se croisent pas) 4-régulier (ou "tétravalent): à chaque sommet aboutissent 4 arêtes exactement.
Le nombre de sommets du graphe est le nombre de croisements de la projection de l'entrelacs.
 

Inversement tout graphe planaire 4-régulier est la projection d'un entrelacs.

ACTIVITÉ 1
Pouvez-vous dessiner un tel graphe (avec 5 ou 6 sommets) et compter combien il a de brins ?
 
 
 
 
 

 

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Pour pouvoir reconstituer l'entrelacs, il faut, bien sûr, indiquer quel brin passe dessus et lequel passe dessous, ce que nous avons fait ci-contre.

Cependant, y a-t-il un moyen de coder les sommets du graphe de façon à reconnaître le type du sommet correspondant ?

Une possibilité est de choisir un sens de parcours sur chaque brin et de décréter positif ou négatif le croisement, en utilisant la convention indiquée à droite.
ACTIVITÉ 2 : choisir des sens de parcours et coder les sommets du diagramme précédent.

 
Voici une réponse possible. Bien sûr, pour un sommet donné, si l'un des sens de parcours change, le signe change (et si les deux changent, le signe reste identique). Et s'il y a n brins, il y a 2n façons de choisir les sens de parcours...
Il existe une autre façon de coder les sommets, en particularisant cette fois les faces : voici comment.
Nous sommes en fait devant une carte de géographie dont tous les sommets sont de degré pair. Une telle carte est coloriable avec deux couleurs (théorème non trivial !). Nous les avons appelées a et b, mais vous pourrez hachurer a et laisser b en blanc...
Les sommets sont maintenant décrétés positifs ou négatifs par les conventions ci-contre.
Évidemment, l'échange des deux couleurs échange les + et les .

ACTIVITÉ 3 : coder dans la figure précédente les sommets par cette méthode.


 
A tout graphe planaire 4-régulier à sommets étiquetés + ou correspond donc un unique entrelacs.
 

ACTIVITÉ 4 : étiqueter + ou comme bon vous semble les sommets du graphe de l'activité 1 et dessiner ci-contre l'entrelacs associé.
 

 

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Que se passe-t-il si tous les sommets sont étiquetés + (ou tous ) ?

ACTIVITÉ 5 : répondre à partir d'un exemple.

Vous avez certainement constaté que dans ce cas, lorsqu'on suit un brin, les passages se font alternativement dessus et dessous. Un tel entrelacs est dit alterné.
 

NOTA : remarquons qu'un brin donné dans un entrelacs alterné, ne forme en général pas lui-même un noeud alterné !

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Vous avez dû remarquer qu'il n'est pas facile de tracer les passages dessus-dessous. Le plus facile est de tracer un brin en continu, et de ne s'arrêter que lorsqu'on arrive à une portion déjà tracée. 

ACTIVITÉ 6 : le faire pour l'exemple du départ.

Que constatez-vous pour l'entrelacs obtenu ?
 

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II) Graphe associé au diagramme de l'entrelacs.
 
A partir du diagramme de l'entrelacs, nous allons définir un graphe plus simple qui va le caractériser. Ce graphe a été découvert par Peter Tait en 1880, lors de sa démonstration du théorème des 4 couleurs (démonstration qui, comme on le sait, s'est avérée fausse).
De façon abstraite, ce graphe a pour sommets les faces de couleur a (par exemple) dans le diagramme d'entrelacs, deux faces étant reliées par une arête si elles ont un sommet du graphe de départ en commun.
C'est un graphe planaire que l'on obtient concrètement en plaçant un point au "centre" de chaque face et en reliant ces points par des chemins passant par les croisements.

Chaque arête de ce graphe est décrétée positive si le sommet qu'elle traverse est positif.


 
 
Comment récupérer l'entrelacs à partir de son graphe associé ?
Sans s'occuper des dessous-dessus dans un premier temps, plaçons une croix sur chaque arête, et relions ces croix en suivant les arêtes rouges (en restant dans la face) : ACTIVITE 7. 


D'une façon générale, on obtient ainsi le graphe dit graphe médial du graphe rouge. Ses sommets sont les arêtes du graphe planaire de départ, deux sommets étant reliés si les arêtes sont consécutives sur une face.

Vous avez remarqué qu'on a stylisé et rendu plus symétrique le graphe rouge ; cela va permettre d'obtenir un entrelacs plus esthétique.


 
Pour obtenir les passages dessus/dessous, poser les deux index sur l'arête et tracer un trait suivant l'index droit si l'arête est négative, gauche sinon. Relier ensuite.

Si vous voulez un entrelacs alterné, toutes les arêtes doivent être du même signe, et vous poserez toujours le même index.


 
 

ACTIVITÉ 8 : tracer le graphe triangle et son entrelacs alterné associé, qui est le noeud de trèfle.
 

Essayer d'autres graphes connexes à 3 arêtes (éventuellement multiples).
 
 
 

 

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ACTIVITÉ 9 : tracer des graphes connexes à 4 arêtes sans sommets libres et leur entrelacs correspondant.
 

 

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Voici des exemples :
 
Le noeud de trèfle.

Atention, ici, c'est le graphe de Tait qui est est bleu et l'entrelacs qui est rouge.

Le noeud de Salomon.
Le noeud de huit.

III) Entrelacs associés à des graphes duaux.
 
Pour le tracé du graphe associé, nous avons choisi arbitrairement les faces de couleur a ; prenons cette fois celles de couleur b (y compris la face externe, non bornée).

ACTIVITÉ 10 : le faire pour le diagramme ci-contre.

On obtient un autre graphe, qui n'est autre que le dual du précédent.

Par conséquent, deux graphes duaux donnent le même entrelacs.

ACTIVITÉ 11 : vérifier que pour les trois séries de noeuds ci-dessus, les deux graphes bleus sont bien duaux l'un de l'autre.

 

IV) Exemples de familles de graphes associées à des familles d'entrelacs.
 
Le graphe circulaire à n arêtes simples positives est associé à l'entrelacs torique T(n,2).

Ci-contre le cas n = 6 :

ACTVITÉ 12 : faire le cas n = 5.

Combien l'entrelacs a-t-il de brins suivant les valeurs de n ?

Si les arêtes sont multiples, on obtient un entrelacs dit "de bretzel" :

PB : y a t-il des rêgles permettant d'obtenir le nombre de brins ?

Une grille rectangulaire de p 1 cases sur q 1cases donne naissance à un entrelacs de billard rectangulaire de type (p,q) :  ci-contre le cas (5,3).
 Une grille circulaire  formée de  graphes circulaires à p arêtes concentriques, reliés par  groupes de p arêtes radiales donne un entrelacs de billard cylindrique ou bonnet turc de type (p,q) : ci-contre par exemple, les cas (5,3) et (5,4).

V) BIJECTION ENTRE LES ENTRELACS ET LES GRAPHES ?
 
 
Tout plongement dans le plan d'un (multi)graphe planaire étiqueté donne donc naissance à un unique entrelacs. Mais a-t-on vraiment une bijection entre les graphes et les entrelacs ? On peut se demander :

   1) Si deux plongements du même graphe donnent forcément naissance à deux entrelacs équivalents.
   2) Si deux graphes non isomorphes donnent naissance à deux entrelacs non équivalents.
 

Malheureusement, la réponse aux deux questions est négative.

- les deux noeuds K11a57 et K11a231 bleus ci-contre ont le même graphe associé, mais ne sont pas équivalents (ce sont des "noeuds mutants").

- les deux graphes bleus pastel indiqués ci-contre ne sont pas isomorphes (l'un a un sommet de degré 6 et l'autre non) mais les deux entrelacs associés sont équivalents : entrelacs 8.2.7 dans la table de Rolfsen.
On a vu également que deux graphes duaux donnent le même entrelacs.