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SURFACE DE RÉVOLUTION À COURBURE DE GAUSS CONSTANTE
Surface of revolution with constant gaussian curvature, Drehfläche mit konstanter gaussischen Krümmung


Surface étudiée par Minding en 1839.
Darboux a étudié en 1890, les surfaces générales à courbure de Gauss constante.
Cette étude provient de [Gray] page 473 ; voir aussi [Valiron] page 467.

La définition de la surface étudiée ici tient dans son nom.

Premier cas : courbure de Gauss positive, égale à .
 
Paramétrisation polaire : .
Première forme quadratique fondamentale : .
Rayon de courbure méridien : , rayon de courbure parallèle : .
Courbure de Gauss : , courbure moyenne : .

 
 
Vue du cas 0 < k  < 1 Vue du cas k = 1, qui donne la sphère Vue du cas k  > 1

REM : toutes ces surfaces sont applicables à la sphère.

Deuxième cas : courbure totale négative, égale à .

On retrouve aussi 3 allures de surfaces, mais ayant cette fois 3 paramétrisations différentes.

Premier type : surface ayant un point conique :
 
Paramétrisation polaire : , 0 < k < 1.
Première forme quadratique fondamentale : .
Rayon de courbure méridien :, rayon de courbure parallèle : .
Courbure de Gauss :, courbure moyenne : .

Deuxième type : surface ressemblant à un hyperboloïde :
 
Paramétrisation polaire : , k quelconque.
Première forme quadratique fondamentale : .
Rayon de courbure méridien : , rayon de courbure parallèle : .
Courbure de Gauss : , courbure moyenne : .

Le troisième type étant celui de la pseudosphère à laquelle sont applicables les précédentes.

REMARQUE 1 : le rayon de courbure méridien d'une surface de révolution étant celui du profil de cette surface, et le rayon de courbure parallèle étant la longueur du segment MN joignant le point M de la surface au point N d'intersection de la normale avec l'axe, les profils des surfaces étudiés ici ne sont autres que les courbes telles que la courbure est proportionnelle à la normale (ou ce qui est équivalent telles que le produit MI . MN est constant, I étant le centre de courbure).
Comparer avec les courbes élastiques.

REMARQUE 2 : les courbures principales d'une surface de révolution de profil paramétré par l'abscisse curviligne :  étant  et , l'équation des profils étudiés ici est l'équation très classique : .

REMARQUE 3 : excepté la sphère, les surfaces précédentes ont des points singuliers ou sont non bornées. On a en effet le théorème de Liebmann (1899) : la seule surface de classe C4 compacte de courbure de Gauss constante est la sphère.

Comparer ces surfaces avec les surfaces de révolution à courbure moyenne constante, ou surfaces de Delaunay, et avec les surfaces de révolutions aux courbures proportionnelles.

Voir aussi la surface de Dini, hélicoïde à courbure de Gauss constante négative.
 
 
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© Robert FERRÉOL  2019