surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

SURFACE DE CASSINI
Cassini surface, kassinische Fläche

Il existe de nombreuses généralisations à l'espace des ovales de Cassini, parfois appelées surfaces de Cassini.

Généralisation 1
 
 

Équation cartésienne :.
Surface quartique.

 
Cette surface a pour courbes de niveau les ovales de Cassini : la courbe de niveau z est l'ovale de Cassini de paramètre b = z de foyers centrés sur les droites .

La section par le plan y = 0 est la réunion du cercle  et de l'hyperbole conjuguée .

Un exemplaire en bois se trouve au Palais de la découverte, voir cet article.

Généralisation 2
 
Une autre surface dont les courbes de niveau sont les ovales de Cassini est la surface d'équation.

Généralisation 3 : cassiniennes 3D à deux pôles
Ce sont les surfaces de révolution obtenues en faisant tourner un ovale de Cassini autour de son grand axe (ici, l'axe Ox) :

Équation bipolaire : , le pôle O étant le milieu du bipôle (F', F) , avec a = OF = OF'
Équation cartésienne : .
Surface quartique, non rationnelle pour ab.

Lorsque , la section de la surface par le plan  donne la lemniscate de Booth.

Généralisation 4
 
Cette fois, on fait tourner l'ovale autour de son petit axe (ici, l'axe Oz).
Équation cartésienne : .
Pour , la surface est utilisée pour modéliser un globule rouge (voir cette étude).

Ci-contre, le cas a = 1,1.b.


 
surface suivante surface précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL 2020