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ELLIPSE MULTIFOCALE
Multifocal
ellipse (or egglipse), multifokale Ellipse (oder Tschirnhaus'sche Eikurve)
Courbe étudiée par Tschirnhaus en 1686,
Maxwell en 1846.
Autres noms : multiellipse, polyellipse, hyperellipse, oeuf de Tschirnhaus. Sites : wkipedia anglais (N-ellipses) wikipedia anglais (Generalized conic) wikipedia français (point de Fermat-Weber) http://www.aimath.org/WWN/convexalggeom/AIM.pdf On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses Texte de Maxwell Article sur le côté algébrique Sur les triellipses http://www.journaloftheoretics.com/Articles/6-6/MFCC.pdf?q=foci Sur le point de Fermat Gyula Sz.-Nagy (June 1950). "Tschirnhaus'sche Eiflachen und EiKurven". Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungarica 1 (2): 167–181. |
Les ellipses multifocales, à n foyers, sont
les lieux des points du plan dont la somme des distances à
n
points est constante.
Equation multipolaire : .
Le cas n = 1 donne bien sûr les cercles.
Le cas n = 2 donne les ellipses classiques. Plus
précisément, vaut
au minimum AB et pour
,
donne l'ellipse de foyers A et B et de grand axe a,
réduite au segment [AB] pour a =AB.
Pour n = 3, la valeur minimale de Si les angles du triangle sont aigus, le point de Fermat est défini par le fait que l'on y voit les côtés sous des angles de 120° (exemple ci-contre). Si l'un des angles est supérieur ou égal à 120° le point de Fermat est le sommet correspondant ; dans le cas aplati mais avec des sommets distincts, le point de Fermat est le sommet central. Si deux points sont confondus, le point de Fermat y est situé, et on obtient un ovale de Descartes. La valeur minimale de la somme vaut Comme on le voit ci-contre, les triellipses ont une tangente en tout point sauf lorsqu'elles passent par les sommets du triangle. |
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Généralisation du tracé du jardinier des ellipses pour le tracé d'une triellipse, proposé par Maxwell. |
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Ci-contre, le cas d'un triangle équilatéral. |
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Le produit Par exemple, la courbe algébrique correspondant
à la triellipse passant par les sommets du triangle équilatéral
précédent, représentée ci-contre, a pour équation
:
Dans les autres cas, la triellipse n'est qu'une composante connexe ovale de la courbe algébrique en comportant quatre au maximum. |
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Comme pour l'ellipse, la tangente à la triellipse
se construit orthogonalement au vecteur |
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Pour La n-ellipse est incluse dans une courbe algébrique de degré Ci-contre, la quadriellipse passant par les sommets d'un carré, et la courbe algébrique associée, de degré 16 – 6 = 10. |
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Comparer avec les cassiniennes,
d'équation .
Animation de la triellipse complète associée
à un triangle équilatéral, partant de
a = 0.
Pour a grand, la courbe |
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© Robert FERRÉOL 2016