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COURBE DU NAGEUR
Swimming
dog curve
Courbe étudiée par Saint Laurent et Sturm
en 1822.
Nom maison. Pour les temps de traversée, voir www.feynmanlectures.caltech.edu/info/exercises/boat_time.html |
La courbe du nageur est la trajectoire d'un nageur
dans une rivière entraîné par un courant rectiligne
de vitesse constante
et nageant à vitesse constante
vers un point fixe sur la rive (ici le point fixe est O et le sens
du courant Oy) ; on peut aussi imaginer un bateau pointant vers
une balise fixe.
Système différentiel donnant le mouvement
du nageur :
Équation différentielle de la trajectoire
:
|
On constate que le nageur atteint le point fixe ssi sa
vitesse du courant est strictement inférieure à la sienne
; lorsque la vitesse du courant augmente, le temps de traversée
augmente, jusqu'au cas où ;
il atteint encore théoriquement la rive Oy, mais en aval
de la cible, et en un temps infini ; sa trajectoire est alors un arc de
parabole
de foyer O. Lorsque la vitesse du courant est supérieure
à la sienne, il se fait emporter par lui.
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Ci-dessus, trois représentations des courbes,
suivant que le point de départ du nageur est en aval, au droit,
ou en amont de la cible.
Pas de courant : cas En rouge : cas En vert : cas En bleu : cas |
La trajectoire du nageur dans le plan mobile de la rivière est une courbe de poursuite (ce qui donne une méthode pour résoudre ce problème).
On peut généraliser ce problème en considérant deux plans (P) et (Q), le premier fixe et le deuxième mobile et les courbes dans (P) d'un point M de (Q) se dirigeant constamment en direction d'un point fixe O, à vitesse constante.
Par exemple, si le mouvement de (Q) est circulaire uniforme de centre O, la courbe de M dans (P) est une spirale d'Archimède.
Une autre généralisation est de considérer
que l'axe du nageur (ou plutôt du bateau) fait constamment un angle
a
avec (OM) ; on obtient alors l'équation différentielle
polaire : .
Pour k = 1, celle ci s'intègre en la parabole
: .
Pour a = p/
2, le résultat est remarquable, car le mouvement est le même
que celui des planètes autour du soleil ; voir à conique.
On peut aussi considérer que le point vers lequel
pointe le nageur se déplace lui aussi, ce qui donne une courbe de
poursuite avec courant.
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© Robert FERRÉOL 2004