Notion étudiée par Monge en 1771. Autres nom : focale, ou caustique.

 

Pour une courbe de départ  de point courant , une développée est un ensemble de points  où  l'angle  est l'angle de torsion, défini à une constante près (voir les notations).

Une développée d'une courbe est une courbe dont les tangentes sont les normales à la courbe de départ, autrement dit une courbe enveloppe d'une normale à la courbe de départ ; les développées sont tracées sur la surface polaire de la courbe de départ, et c'en sont des géodésiques (courbes qui se développent en des droites) ; on obtient donc une développée en menant d'un point de la courbe un fil tangent à la surface polaire et en l'enroulant ensuite librement sur cette polaire.

Lorsqu'un plan normal décrit la courbe de départ, il pivote sans glisser sur la surface polaire et dans le même temps, la normale qui enveloppe l'une des développées roule sans glisser sur cette développée : les développées sont les courbes ayant la courbe de départ pour développante.

Les développées ont un point de rebroussement sur l'arête de rebroussement de la surface polaire, arête qui est leur enveloppe.

Attention : le lieu des centres de courbure d'une courbe non plane n'est pas une développée de la courbe ; les normales principales n'ont pas d'enveloppe. Par contre, le point caractéristique d'une normale enveloppant une développée se projette dans le plan osculateur sur le centre de courbure.

Une courbe plane (C) possède une développée plane et une infinité de développées 3D qui sont les arêtes de rebroussement des surfaces d'égale pente de directrice (C) et se projettent sur la développée plane.
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2005