Fougère

FOUGÈRE DE BARNSLEY
Barnsley's fern, Barnsley-Farn

Fractal étudié par Barnsley en 1988.
Michael Barnsley (1946 - ) : mathématicien britannique.

Code Maple pour obtenir la fougère ci-dessous par itérations successives des trois contractions et un "tronc" aléatoire. alea:=x->evalf(rand()/1e12)/40+evalf(rand()/1e12)*I:
calcul:=proc(fougere,n)
local resultat,tronc,feuille1,feuille2,feuille2b,feuille2c,feuille3,i: global a1,a2,a3,b1,b2,b3:
resultat:=convert(fougere,set):
for i to n do
feuille1:=map(x->-a1*conjugate(x)+b1,resultat):
feuille2:=map(x->a2*x+b2,resultat):feuille2b:=map(x->a2*x+b2,feuille2):feuille2c:=map(x->a2*x+b2,feuille2b):
feuille3:=map(x->a3*x+b3,resultat):
tronc:= {seq(alea(),i=1..iquo(nops(resultat),2*n))}:
resultat:= tronc union feuille1 union feuille2 union feuille2b union feuille2c union feuille3 od:
end:
Digits:=4:r1:=0.25: r2:=0.85: r3:=r1:theta1:=evalf(Pi*0.4): theta2:=0.05: theta3:=-theta1:
a1:=evalf(r1*exp(I*theta1)):b1:=evalf(I):a2:=evalf(r2*exp(I*theta2)):b2:=b1:a3:=evalf(r3*exp(I*theta3)):b3:=b1:
fougere:=calcul([0,I],6):fougere:=seq(map(x->[Re(x),Im(x)],fougere[i]),i=1..nops(fougere)):
PLOT(POINTS(fougere,COLOUR(RGB,0,0.8,0),SYMBOL(POINT)),SCALING(CONSTRAINED),AXESSTYLE(NONE));

Le génie de Barnsley a été de considérer la fougère comme un arbre fractal à 3 branches :

Ici, nous avons pris deux similitudes directes de rapports 0.25 et d'angles 2 p/5 pour les deux branches de gauche et droite, et une similitude directe d'angle 0.05 et de rapport 0.85 pour la branche centrale légèrement incurvée.
On remarque que toutes les "feuilles" sont incurvées à gauche. Pour que les feuilles de gauche soient incurvées à droite, il suffit de composer la première similitude directe avec la symétrie adéquate.
Ce qui donne, en choisissant A(0,0) et B(0,1) pour les extrémités du "tronc", les similitudes de matrice complète : avec r₁= r₂= 0.25 r₃,=0.85 , q₁ = - q₂ = 2p/5, q₃ = 0,05 , e_i= 1 sauf e₂= -1 et h_i = 1.

Contrairement aux arbres, l'obtention d'une fougère réaliste nécessiterait de pousser jusqu'à une trentaine d'itérations, ce qui est impossible avec des moyens normaux (3³⁰ = 2. 10¹⁴ segments...).

Le feuillage de la fougère (c'est-à dire l'attracteur des 3 contractions ci-dessus) s'obtient facilement par itération de ces 3 contractions) :

Pour faire apparaître les tiges, le "truc" de Barnsley est de prendre une quatrième contraction affine ramenant toute la fougère à son "tronc", de matrice

où e est très petit, voir nul et h est la hauteur de la fougère =

, ce qui donne ici

Exemple avec e = 0,01

Exemple avec e = 0,1 : l'imposture tronc = fougère est dévoilée !

Voici les 4 parties de la fougère semblables au tout.

On peut aussi prendre comme 4ème "contraction" une fonction qui donne un point choisi au hasard dans le segment [AB], ou mieux, dans un rectangle de médiane ce segment, pour obtenir une épaisseur. A ce moment, c'est le théorème du point fixe qui est en défaut, car ce n'est plus une contraction a proprement parler ; mais en pratique cela fonctionne très bien (c'est ce qui a été utilisé dans le programme donné en en-tête) :

Et voici ce que l'on obtient si on prend trois similitudes directes ! (les feuilles sont toutes incurvées à gauche)

Ci-contre (et en image d'entrée) la fougère officielle de Barnsley ; les trois contractions ont pour matrices complètes :
(feuille de gauche),
(feuille de droite, non accrochée en haut du "tronc")
(feuille centrale)
("tronc").

Voir aussi :

http://www.math.utah.edu/~bowman/schmitt/ColFern.html

http://perceptible.chez.com/tqifs.html#deux

Fougères fractales en 3d
Et voilà une vraie !

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