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ENSEMBLE UNITÉ

En rouge et vert les deux parties semblables au tout ; les deux points sont les centres des deux similitudes.

Télécharger un logiciel de tracé en temps réel de ces fractals, dû à Arnaud Chéritat.


Notion étudiée par Barnsley et Harrington en 1985 et Goffinet en 1991.

Étant donné un complexe b, l'ensemble unité Ub associé est l'adhérence de l'ensemble des sommes finies des puissances entières naturelles de b :

.

Comme si l'on change b en son conjugué ou en son opposé, Ub est changé en son image par symétrie ou translation, on peut se limiter au cas où les parties réelle et imaginaire de b sont ³ 0.

Lorsque b est de module strictement inférieur à 1, Ub  est alors l'ensemble des sommes finies ou infinies des puissances entières naturelle de b :

L'ensemble unité Ub est donc alors aussi l'attracteur des similitudes f1 :  et f2: ; les ensembles unités dans une base de module < 1 sont donc les attracteurs de deux similitudes de même angle et de même rapport.
Ils sont alors compacts, de rayon , et de dimension fractale inférieure ou égale à leur dimension de similitude interne : d =.
Lorsque cette dimension d est < 1, c'est-à-dire quand |b| < 1 / 2, l'application qui à A fait correspondre  est injective, l'ensemble unité est totalement discontinu et de dimension fractale d ; lorsque d est ³ 2, soit ,  l'ensemble unité  est connexe et de dimension fractale 2.

D'ailleurs Ub  est :
    - soit totalement discontinu si f1 (Ub) et f2 (Ub) sont disjoints (coloriés en rouge et vert dans les figures).
    - soit connexe si f1 (Ub) et f2 (Ub) se coupent.

Par analogie avec l'ensemble de Mandelbrot classique (qui est l'ensemble des complexes c tels que l'ensemble de Julia Jc soit connexe), on désigne aussi par ensemble de Mandelbrot l'ensemble des b tels que Ub soit connexe.

Cet ensemble a une frontière fractale qui est incluse, d'après ce qui précède, dans l'anneau 1/Ö2 £ |b| £ 1/ 2.

Quelques cas particuliers :
b Ub
1 ou 2 N
entier ³ 2 entiers s'écrivant avec des 0 ou des 1 en base b
1/2 [0,2]
1/3 ensemble de Cantor d'extrémités 0 et 3/2
1/n avec n entier >1 réels de [0, n/(n -1)] sécrivant en base n avec des 0 ou des 1.
(1+i)/2 dragon symétrique
exp(ip/3) réseau triangulaire
i réseau carré

Ci-dessous quelques exemples avec indication de la valeur de b, du rapport de similitude r, de l'angle a et de la dimension de similitude d (en valeurs approchées) ; les noms de baptème sont ceux donnés par Daniel Goffinet. Les parties A utilisées ont 16 éléments au maximum et le dessin ne représente donc qu'une partie de l'ensemble unité complet, principalement quand r est proche de 1.
 

Le rucher s'effiloche : b = 0,49+0,84i ; r = 0,97 ; a = 60° ; d = 23.

Set de table : b = 0,04+0,97i ; r = 0,97 ; a = 88° ; d = 23.

Tartan skirt : b = 0,93i ; r = 0,93 ; a = 90° ; d = 10.

Olé : b = 0,7+0,39i ; r = 0,8 ; a = 30° ; d = 3.

Dragon symétrisé : b = 0,5+0,5i ; r = 0,71 ; a = 45° ; d = 2.

Dragon mité : b = 0,65+0,3i ; r = 0,72 ; a = 25° ; d = 2.

Chou-fleur : b = 0,4+0,6i ; r = 0,72 ; a = 56° ; d = 2.

Danse macabre : b = 0,39+0,49i ; r = 0,62 ; a = 51° ; d = 1,4.
Les fractals sont ici rangés de gauche à droite par partie rélle de b croissant de -1 à 1 et de bas en haut par partie imaginaire de b croissant de -1 à 1.
Les fractals sont ici rangés de gauche à droite par rapport de similitude croissant de 0.1  à 0.9 (donc dimension croissante) et de haut en bas par angle de similitude croissant de 0 à 90°.

 
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© Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET 2001