On peut généraliser la construction indiquée sur la page "fractal de Sierpinski" en partant d'un carré et en en considérant un certain nombre de parties homothétiques qui ne se coupent que suivant leurs frontières ; on évide dans le carré le complémentaire de la réunion des carrés homothétiques et on recommence l'opération à l'infini dans chacun des carrés homothétiques.
L'objet limite n'est alors autre que l'attracteur des homothéties transformant le carré de départ en ses parties homothétiques.
 

Dans le carré de Sierpinski classique les parties de départ sont les 8 carrés homothétiques de rapport 1/3 accolés à sa frontière. La dimension du fractal final est .

Variante n° 1

On peut augmenter les carrés des coins et diminuer ceux des côtés de sorte à faire apparaître une croix formée de 5 carrés égaux. Les parties de départ sont alors 4 carrés homothétiques de rapport 2/5 et 4 carrés homothétiques de rapport 1/5. La  dimension du fractal final est d défini par :  , soit environ 1,790.

Variante n° 1 bis

Pour plus d'harmonie, on peut retarder d'une étape l'apparition des petites croix, ce qui ne change pas le fractal final.

Variante n°2

Dans la 3ème étape de la série précédente, les petites croix des milieux des côtés sont légèrement plus grandes que les autres (dans un rapport 8/5) ; on souhaiterait les égaliser. Pour cela, le rapport d'homothétie k des carrés des coins doit vérifier  ce qui donne  ; ce nouveau fractal, découvert par Éric Baird en 2011 et nommé par lui carré de Jérusalem est donc l'attracteur de 4 homothéties de rapport  et 4 homothéties de rapport . Sa dimension d est définie par , soit environ 1,786. C'est le seul fractal à homothétie interne classique avec des rapports d'homothétie irrationnels.

Variante n°3

Repartant de la croix centrale à 4 carrés égaux, on peut aussi décomposer les 4 grands carrés des coins chacun en 4 ; on obtient un fractal issu de 20 homothéties de rapport 1/5 ce qui lui donne une dimension .

Variante n°4

Évidons maintenant les coins et conservons 5 carrés en croix homothétiques de rapport 1/3 ; on obtient un fractal issu de 5 homothéties de rapport 1/3 ce qui donne une dimension de . On obtient le fractal de Vicsek ou croix du sud.

Variante n°5

Gardons le carré central et prenons les 4 carrés de coin ; on a toujours 5 homothéties de rapport 1/3 ; on obtient donc un fractal de même dimension que le précédent ; mais non seulement il a la même dimension, mais il lui est semblable dans un rapport  !

Variantes n° 6a, 6b, 6c, 6d

Si l'on ne prend que 4 carrés de coins, homothétiques dans un rapport 2/5, on obtient un fractal totalement discontinu de dimension ; les 3 lignes suivantes en donnent des variantes plus esthétiques. fractal savoyard fractal helvético-savoyard fractal suisse fractal franco-suisse

Voir ici les correspondants 3D de ces fractals.
 
 

fractal suivant

fractal précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL, Alain ESCULIER 2013