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La courbe de Koch quadratique est l'attracteur
dans le plan des 5 similitudes directes de rapport 1/3 transformant (A,
F) successivement en (A, B), (B, C), (C, D) , (D, E) et (E, F) (voir figure).
Le motif en triangle de la courbe de Koch classique a été remplacé par un motif en carré. Sa dimension fractale est donc . |
Voici la suite des
compacts convergeant vers cette courbe, en partant de [AF] :
4 courbes de Koch quadratiques disposées comme ci-dessous forment une figure appelée croix du sud. | Cette croix du sud peut aussi s'obtenir par une méthode
de type "fractal de Sierpinski"
en partant d'un carré plein et en évidant le complémentaire
de 5 carrés homothétiques du carré de départ,
formant une croix ; 5 homothéties de rapport 1/3 redonnent bien
une dimension fractale de .
Avec cette méthode, ce fractal est connu sous le nom de fractal de Vicsek. |
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On peut aussi assembler les 4 courbes de Koch quadratiques disposées cette fois comme ci-dessous : | Ce fractal peut aussi s'obtenir par une méthode de type "fractal de Sierpinski" en partant d'un carré plein et en évidant le complémentaire de 5 carrés homothétiques du carré de départ ; 5 homothéties de rapport 1/3 redonnent bien aussi une dimension fractale de . |
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Autre bel assemblage (voir aussi le titre ci-dessus) : |
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Variante : on retourne les deuxième et quatrième étape : les courbes intermédiaires n'ont plus de point double (mais pas la courbe finale !). La dimension fractale est évidemment la même. |
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© Robert FERRÉOL 2014