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FOCALE D'UNE SURFACE
Focal
of a surface, Fokale einer Fläche
| Autres nom : caustique, développée. |
La notion de focale est le correspondant pour les surfaces de la notion de développée pour les courbes.
En chaque point de la surface, il existe deux centres de courbure principaux ; les deux focales de la surface sont les deux surfaces lieux de ces centres de courbure, et la focale complète est la réunion des deux focales.
Comme pour les développées des courbes, la focale complète est l'enveloppe des normales à la surface. Plus précisément, le long d'une ligne de courbure, la normale à la surface reste tangente à une courbe qui est l'arête de rebroussement de la normalie correspondante. Les focales, associées à chacune des deux familles de lignes de courbure, sont les deux surfaces réunions de ces arêtes de rebroussement.
Exemples :
- une surface est développable
ssi l'une des focales est une courbe rejetée à l'infini;
- une surface est enveloppe
de sphères ssi l'une des focales dégénère
en une courbe ; lorsque les deux focales dégénèrent
en des courbes, on obtient une cyclide
de Dupin.
- en théorie des coques de navire, les focales
sont les lieux des métacentres.
- la focale de l'ellipsoïde est appelé l'astroïde
de Cayley.
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© Robert FERRÉOL 2007