Nous ne nous occuperons ici que de la facette topologique de cette notion.

Une variété tridimensionnelle ou espace tridimensionnel (topologique), ou 3-variété est un espace topologique localement homéomorphe à l'espace euclidien de dimension 3 ou au demi-espace (i.e. dont tout point possède un voisinage homéomorphe à ou ) ; c'est une variété topologique de dimension 3.

Les points ayant un voisinage homéomorphe au demi-espace forment le "bord" de la variété ; une variété sans bord compacte est dite fermée, une variété sans bord non compacte est dite ouverte.
 

Exemples de 3-variétés euclidiennes simples compactes (il y en a 10 types en tout) :
    - l'hypertore
    - L'espace de Klein (généralisant la bouteille de Klein)

Voir la description des dix-huit 3-variétés euclidiennes, la classification des 3-variétés sphériques, et des exemples de variétés hyperboliques dans "L'univers chiffonné" de Jean-Pierre Luminet page 409 à 417.

Voir aussi cet article de Pour La Science et cet article de vulgarisation.
Télécharger ce logiciel permettant de visualiser les divers espaces tridimensionnels :
http://www.geometrygames.org/CurvedSpaces/index.html
Voir les 8 géométries de Thurston que l'on peut associer à une 3-variété dans cet article de vulgarisation et cet article de wikipedia.
Voir de belles visualisations de ces géométries dans www.3-dimensional.space.
 

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