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SURFACE ENVELOPPE D'UNE FAMILLE DE SURFACES
Envelope
surface of a family of surfaces, Hüllfläche einer Familie
Flächen
1) Cas d'une famille de surfaces à un paramètre.
Si Si Si |
L'enveloppe d'une famille de surfaces à
un paramètre
est la surface
réunion des courbes caractéristiques
des surfaces
,
courbes limites quand
tend vers t des courbes intersections de
avec
;
la surface
est tangente en chacun de ses points à une surface
et "en général", toute surface
est tangente suivant une courbe à
; les cas restrictifs sont les suivants :
- sur un intervalle, les surfaces
passent par une courbe fixe, auquel cas, cette courbe appartient à
l’enveloppe.
- les surfaces n'ont pas d'intersection
entre elles (par exemple des sphères concentriques, ou des surfaces
dont les points d'intersection sont imaginaires).
La famille des courbes caractéristiques
possède alors en général une enveloppe,
qui est l'arête de rebroussement
de la surface
.
Avec les notations ci-dessus dans le cas paramétrique,
la condition
étant symétrique en u,v et t, les deux enveloppes
des surfaces
lieux des points (M(u,v,t))u,t
et des surfaces
lieux des points (M(u,v,t))v,t
sont les mêmes que celle des surfaces
; l'enveloppe commune est en fait le lieu des points où les surfaces
des trois familles sont tangentes suivant une courbe.
Lorsque les surfaces
sont des plans, la courbe caractéristique est une droite qui reste
tangente à l'arête de rebroussement de l'enveloppe
(qui est alors une surface réglée
développable).
Exemples :
- la surface
polaire d'une courbe est l'enveloppe de ses plans normaux.
- les cyclides
de Dupin et les tubes sont des enveloppes
de sphères.
2) Cas d'une famille de surfaces à deux paramètres.
Si Si |
L'enveloppe d'une famille de surfaces à
deux paramètres
est la surface
engendrée par les
points caractéristiques des
surfaces
,
points limites quand (t1 ,t'1)
tend vers (t ,t') des intersections de
avec
???
; la surface
est tangente en chacun de ses points à une surface
et "en général", toute surface
est tangente en au moins un point à
.
Avec les notations ci-dessus dans le cas paramétrique,
la condition
étant symétrique en u,v,t,t' , l'enveloppe
des
est
aussi l'enveloppe de 3 autres familles à deux paramètres
; l'enveloppe commune est en fait le lieu des points où les surfaces
des 4 familles sont tangentes.
Exemples :
- Toute surface est l'enveloppe de ses plans tangents.
- Les surfaces parallèles
à une surface sont les enveloppes de sphères de rayon constant
centrés sur cette surface.
- La podaire
d'une surface
par rapport à un point
O est l'enveloppe des sphères
de diamètre [OM] où
M décrit
.
- La polaire
(réciproque) d'une surface
par rapport à une sphère (S) est l'enveloppe des plans
polaires par rapport à (S) des points de
.
- L'enveloppe du plan d'un triangle [ABC]
dont les extrémités se déplacent sur les axes Ox,
Oy et Oz est
- une surface
astroïdale
: quand
la distance du centre de gravité à O est constante
- la surface
cubique : xyz = a3 quand le
tétraèdre
OABC a un volume constant
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© Robert FERRÉOL 2016