Si (Gt) est donnée sous la forme  (1) : ,  l'enveloppe existe si et seulement si le système de 4 équations à 3 inconnues résultant de la conjonction de (1) et de (2) :  possède une solution en (x, y ,z) pour toute valeur de t. Cette solution donne la paramétrisation de l'enveloppe.   Si (Gt) est définie paramétriquement par (M(t,u))u, la valeur en fonction de t du paramètre u du point caractéristique s'obtient en résolvant  (la condition d'existence de l'enveloppe étant l'indétermination de ce système de 3 équations à deux inconnues).

L'enveloppe d'une famille de courbes à un paramètre  est le lieu (G) des points caractéristiques des courbes G_t, points limites quand t' tend vers t des points d'intersection de (G_t) avec (G_t') ; ces points n'existent donc que si la courbe la courbe (G_t) est sécante avec les courbes infiniment voisines (G_t+dt) ; (G) est alors tangente en chacun de ses points à une courbe (G_t) et "en général", toute courbe G_t est tangente en au moins un point à (G).

Lorsque les courbes (G_t) sont des droites, l'enveloppe existe si et seulement si la surface réglée engendrée par les (G_t) est développable et l'enveloppe est l'arête de rebroussement de cette développable.

Voir aussi les enveloppes de surfaces.
 

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2003