courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

ENTRELAC
Link (or interlacing), Verschlingung


Autre appellation : nuds emboités.
Référence : 
Dale Rolfsen, Knots and Links (1976).

Un entrelac est un ensemble fini de nuds enlacés. Plus précisément, c'est une classe d'équivalence d'ensembles finis de courbes de  fermées sans point double et sans points communs, deux ensembles de courbes étant équivalents si on peut déformer dans  chaque courbe de l'un en une courbe de l'autre, de façon continue, chaque courbe restant constamment fermée sans point double et sans point commun avec une autre tout au long de la transformation.

Le nombre de croisements d'un entrelac est le nombre minimum de points doubles des projections planes (sans point d'ordre supérieur ou égal à 3) de ses représentants. Un entrelac dont un représentant a une projection sans croisement est dit trivial.

Un brin étant choisi dans chacun de deux entrelacs, la somme correspondante des deux entrelacs est l'entrelac obtenu en coupant le brin choisi de chacun des deux entrelacs et en recollant les bouts. On définit alors un entrelacs premier comme ne pouvant être somme de deux entrelacs non triviaux.

Voici la table de Rolfsen des premiers entrelacs premiers, à deux brins ou plus (le symbole  donnant le nombre de croisements N, le nombre de brins n, et le numéro d'ordre p parmi les entrelacs à N croisements) :

Les six premiers sont des entrelacs de bretzel.
Voir aussi le graphe permettant de coder chaque entrelac.
Table plus complète dans l'atlas des noeuds.

Exemples, avec la notation N.n.p (N = nombre de croisements, n = nombre de brins, p = numéro d'ordre donné par Rolfsen) :

Le plus simple des entrelacs : celui de Hopf  2.2.1  qui est aussi l'entrelac torique de type (2,2) ; la somme de n entrelacs de Hopf donnant un entrelac à n + 1 anneaux comme ceux des Jeux.

Entrelacs 4.2.1  ou noeud de Salomon qui est aussi l'entrelac torique de type (4, 2). 

Entrelac de Whitehead 5.2.1

Entrelac 6.2.1 ou sceau de Salomon (ne pas confondre avec le noeud !),  polygramme {6/2} entrelacé ou entrelac torique (6,2).

Anneaux de Borromée 6.3.2

Faux anneaux de Borromée : le premier n'est autre qu'une chaîne de Hopf à 3 anneaux (qui n'est même pas un entrelac premier) et le deuxième le 6.3.3 (chaque anneau est enlacé avec chaque autre).

Voir aussi le noeud de Carrick, les entrelacs brunniens, qui deviennent triviaux lorsque l'on supprime l'une des composantes, les entrelacs de billard, les bonnets turcs, les entrelacs de bretzel, les entrelacs celtiques linéaires, l'entrelac de l'icosidodécaèdre, les surfaces de Seifert, qui remplissent un entrelac, le collier d'Antoine, qui est limite d'une suite d'entrelacs.
 
On pourra remarquer que le tissage représenté à gauche est en fait un entrelac trivial. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle il est réalisable en papier crépon sans déchirure !
Ce cerclage de cube forme un entrelac de 6 boucles à 24 croisements qui est lié au rhombicuboctaèdre.

A droite, deux versions planes du même entrelac ; remarquons la symétrie d'ordre 4 pour l'un, et d'ordre 3 pour l'autre.

Liens :
Liste des entrelacs premiers : katlas.org/wiki/The_Thistlethwaite_Link_Table
Applette java permettant de retrouver le code de Gauss d'un entrelac à partir de son tracé : knotilus.math.uwo.ca/javasketch.php
Site permettant de retrouver un entrelac premier à partir de son code de Gauss : knotilus.math.uwo.ca
Site de Christian Mercat, pour apprendre à créer soi-même des entrelacs : www.entrelacs.net/
Logiciel de Géraud Bousquet pour dessiner des entrelacs à partir d'un graphe
www.math.utk.edu/~morwen/index.html
www.clanbadge.com/knots.htm
Vitrail de l'abbaye d'Aubazine
mathouriste.canalblog.com
 
courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

© Robert FERRÉOL  2022