Noeud de billard rectangulaire

NOEUD ET ENTRELAC DE BILLARD RECTANGULAIRE
Rectangular billiard knot and link, rechteckigen Billardknoten und -Verschlingung

Le " (6,2) "

Étudié par Jones et Przytycki en 1998.
Liens :
Tipe sur les trajectoires de billard
Construire le (5,3) à la main !
Images réalisées par Alain Esculier.

Un nœud de billard rectangulaire est le nœud obtenu à partir d'une trajectoire fermée d'une boule dans un billard à bords rectangulaires, en modifiant les points de croisements en passages alternatifs dessus-dessous.

Si le billard a les dimensions L,L' et la boule de billard démarre d'un côté de longueur L (hors coin) avec une trajectoire de pente a par rapport à ce bord, la trajectoire est fermée ssi le rapport L/L' sur a est un rationnel p/q (p et q premiers entre eux).
La boule fait alors p rebonds sur les côtés de longueur L, et q sur les côtés de longueur L'.
Et il y a en tout croisements.
Ici p = 5 et q =3 ; 5 rebonds par bord horizontal, 3 par bord vertical,
5.2+4.3 = 22 croisements.

Hormis les cas où elle part d'un coin, la courbe conserve la même topologie, donc donne naissance à un nœud unique, que l'on dira de type (p, q).

À une dilatation près, on peut se ramener
    - au cas où le billard est carré (et la pente vaut p/q),
    - ou au cas où L/L'=p/q, auquel cas la pente vaut 1 (les croisements se font à angle droit).

Le nœud de billard de type (p,q) peut aussi s'obtenir par courbe de Lissajous plane.
En effet, si c est une fonction continue, paire, strictement décroissante sur, vérifiant c(0)=1 et , la courbe   donne pour un noeud de billard de type (p,q) (p > q) inscrit dans un rectangle de côtés p et q (pour , on arrive dans les coins).
Pour on obtient une courbe de Lissajous, et pour , une trajectoire de billard.
Pour , les rebonds sont régulièrement espacés sur les côtés.
cas p = 4, q = 3

Les alternances dessus-dessous peuvent être obtenues par une courbe de Lissajous 3D, ou, ce qui est équivalent, par une trajectoire de bille (non soumise à la pesanteur) dans un billard parallélépipédique.
Équation avec les notations ci-dessus : .
Voir à noeud de Lissajous.

Exemples :

q = 1 : le nœud est trivial p = 3, q = 2 : on obtient le quatrième noeud premier à 7 croisements. p = 4, q = 3 , nœud premier à 17 croisements. p = 5, q = 3

Réalisations artistiques : art bouddhique, islamique, celtique, romain ou maritime ! Ce "noeud sans fin", symbole bouddhique, que l'on retrouve dans de nombreux lieux est équivalent au noeud de billard rectangulaire (3,2) ci-dessus (les deux boucles haut et bas sont superflues).
Photo prise à Katmandou : B. Ferréol.
Image prise sur le très intéressant blog Nico-matelotage.

Nœud celtique

Variantes et généralisations :

1) Pour p et q non premiers entre eux, si l'on trace toutes les trajectoires avec p rebonds régulièrement espacés sur deux côtés opposés, et q rebonds sur les deux autres côtés, on obtient un entrelac à PGCD(p,q) composantes.

Exemples :

p = 2, q = 2 : on obtient le nœud de Salomon, plus simple des entrelacs non triviaux p = 3, q = 3 : entrelacs à 12 croisements et 3 composantes, répertorié 12x-3-79 dans knotilus et vu aussi dans katlas.org. Parfois appelé noeud de Salomon triple. p = 4, q = 2 :
entrelac à 10 croisements et 2 composantes, classé 101 dans knot-atlas. p = 4, q = 4 :
nœud de Salomon quadruple. p = 8, q = 8

Mosaïque romaine
Entrelac islamique (Marrakech)
Motif mongol, que l'on retrouve comme décoration de yourte
Mosaïque romaine (villa casale)

Le noeud de billard rectangulaire de type (p,q) (premiers entre eux ou non) a pour graphe une grille rectangulaire de p – 1 cases sur q – 1 cases ; ci-contre le cas (5,3).

2) On peut aussi considérer les courbes obtenues quand la boule de billard part d'un coin. La courbe est alors ouverte, mais peut être fermée de diverses façons ; et on peut aussi effectuer des superpositions.

Exemples dans le cas (3,2) :
La fermeture d'une seule courbe ouverte donne un noeud trivial, mais la superposition de deux courbes ouvertes est intéressante.
Il s'agit du noeud de Carrick qui conduit, par fermeture, soit au dix-huitième noeud premier à 8 croisements : 8.1.18, soit au septième entrelac premier à 8 croisements et deux boucles : 8.2.7.

Baderne 8.1.18
Noeud celtique 8.2.7

Exemples dans le cas (4,3) :

Si l'on ferme la courbe, on obtient un noeud de trèfle. Si l'on superpose deux courbes ouvertes et que l'on relie les brins différents, on obtient un noeud à 18 croisements répertorié 18x-1-230179 dans knotilus ; il est utilisé pour la fabrication de paillassons, ou badernes. Si l'on relie les brins identiques, on obtient un entrelac à 18 croisements répertorié 18x-2 - 410219 dans knotilus.

Réalisation concrète ?

Exemple dans le cas (7,3) :

Exemple dans le cas (1,1) ; la fermeture donne l'entrelac de Whitehead. Exemple dans le cas (3,3) :

3) On peut aussi considérer des croisements dessus-dessous non alternatifs.

On obtient des noeuds dont le nombre minimal de croisements est inférieur au nombre de croisements de la courbe.

On a ci-dessus inversé un croisement (en haut à droite) : on remarque q'on pourrait supprimer les deux croisements en haut à droite en raccourcissant la boucle ; on obtient le nœud 5.1.2. Ici, on remarque que l'on peut supprimer 4 croisements (en haut à droite et en bas à gauche) : comme il reste 3 croisements, on obtient forcément le nœud de trèfle. Ce nœud a été obtenu en suivant le parcours de la boule de billard avec passage systématique au dessus lorsqu'on traverse un trait antérieur. On peut dénouer en commençant par la fin et le noeud est donc trivial. Ceci fonctionnant dans tous les cas, il existe toujours une configuration donnant le noeud trivial.

4) On peut généraliser les billards rectangulaires aux billards polygonaux (non croisés).
Avec des croisements non forcément alternés, on obtient alors tous les nœuds possibles, et on peut même se restreindre aux billards de contour un polygone régulier. En effet, tout nœud a une projection qui est un polygone régulier croisé. Voir aussi les nœuds polygrammiques.

Avec un billard triangulaire équilatéral par exemple, on obtient le nœud de trèfle :

Entrelac à 4 boucles obtenu dans un billard cruciforme.
A droite, variante avec une boucle supplémentaire, idée d'Alain Esculier.

Cette mosaïque romaine provenant de la villa gallo-romaine de Séviac représente un entrelac qui se trouve être obtenu par le tracé de deux boules dans un billard cruciforme.

Voir aussi les noeuds de billard cylindriques, ou bonnets turcs, les noeuds celtiques linéaires.

Frontispice de la chapelle de Murato en Corse : il s'agit d'un (22,3).

courbe suivante courbe précédente courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Si le billard a les dimensions L,L' et la boule de billard démarre d'un côté de longueur L (hors coin) avec une trajectoire de pente a par rapport à ce bord, la trajectoire est fermée ssi le rapport L/L' sur a est un rationnel p/q (p et q premiers entre eux). La boule fait alors p rebonds sur les côtés de longueur L, et q sur les côtés de longueur L'. Et il y a en tout croisements.	Ici p = 5 et q =3 ; 5 rebonds par bord horizontal, 3 par bord vertical, 5.2+4.3 = 22 croisements.
Hormis les cas où elle part d'un coin, la courbe conserve la même topologie, donc donne naissance à un nœud unique, que l'on dira de type (p, q).
À une dilatation près, on peut se ramener - au cas où le billard est carré (et la pente vaut p/q), - ou au cas où L/L'=p/q, auquel cas la pente vaut 1 (les croisements se font à angle droit).
Le nœud de billard de type (p,q) peut aussi s'obtenir par courbe de Lissajous plane. En effet, si c est une fonction continue, paire, strictement décroissante sur, vérifiant c(0)=1 et , la courbe donne pour un noeud de billard de type (p,q) (p > q) inscrit dans un rectangle de côtés p et q (pour , on arrive dans les coins). Pour on obtient une courbe de Lissajous, et pour , une trajectoire de billard. Pour , les rebonds sont régulièrement espacés sur les côtés.	cas p = 4, q = 3
Les alternances dessus-dessous peuvent être obtenues par une courbe de Lissajous 3D, ou, ce qui est équivalent, par une trajectoire de bille (non soumise à la pesanteur) dans un billard parallélépipédique. Équation avec les notations ci-dessus : . Voir à noeud de Lissajous.

q = 1 : le nœud est trivial	p = 3, q = 2 : on obtient le quatrième noeud premier à 7 croisements.	p = 4, q = 3 , nœud premier à 17 croisements.	p = 5, q = 3

Réalisations artistiques : art bouddhique, islamique, celtique, romain ou maritime !	Ce "noeud sans fin", symbole bouddhique, que l'on retrouve dans de nombreux lieux est équivalent au noeud de billard rectangulaire (3,2) ci-dessus (les deux boucles haut et bas sont superflues). Photo prise à Katmandou : B. Ferréol.	Image prise sur le très intéressant blog Nico-matelotage.	Nœud celtique

p = 2, q = 2 : on obtient le nœud de Salomon, plus simple des entrelacs non triviaux	p = 3, q = 3 : entrelacs à 12 croisements et 3 composantes, répertorié 12x-3-79 dans knotilus et vu aussi dans katlas.org. Parfois appelé noeud de Salomon triple.	p = 4, q = 2 : entrelac à 10 croisements et 2 composantes, classé 101 dans knot-atlas.	p = 4, q = 4 : nœud de Salomon quadruple.	p = 8, q = 8

Mosaïque romaine	Entrelac islamique (Marrakech)	Motif mongol, que l'on retrouve comme décoration de yourte	Mosaïque romaine (villa casale)

Si l'on ferme la courbe, on obtient un noeud de trèfle.	Si l'on superpose deux courbes ouvertes et que l'on relie les brins différents, on obtient un noeud à 18 croisements répertorié 18x-1-230179 dans knotilus ; il est utilisé pour la fabrication de paillassons, ou badernes.	Si l'on relie les brins identiques, on obtient un entrelac à 18 croisements répertorié 18x-2 - 410219 dans knotilus.

		Réalisation concrète ?

Exemple dans le cas (1,1) ; la fermeture donne l'entrelac de Whitehead.	Exemple dans le cas (3,3) :


On a ci-dessus inversé un croisement (en haut à droite) : on remarque q'on pourrait supprimer les deux croisements en haut à droite en raccourcissant la boucle ; on obtient le nœud 5.1.2.	Ici, on remarque que l'on peut supprimer 4 croisements (en haut à droite et en bas à gauche) : comme il reste 3 croisements, on obtient forcément le nœud de trèfle.	Ce nœud a été obtenu en suivant le parcours de la boule de billard avec passage systématique au dessus lorsqu'on traverse un trait antérieur. On peut dénouer en commençant par la fin et le noeud est donc trivial. Ceci fonctionnant dans tous les cas, il existe toujours une configuration donnant le noeud trivial.

Avec un billard triangulaire équilatéral par exemple, on obtient le nœud de trèfle :
Entrelac à 4 boucles obtenu dans un billard cruciforme. A droite, variante avec une boucle supplémentaire, idée d'Alain Esculier.
Cette mosaïque romaine provenant de la villa gallo-romaine de Séviac représente un entrelac qui se trouve être obtenu par le tracé de deux boules dans un billard cruciforme.