Représentation cartésienne dont la projection sur xOy est une hypotrochoïde : (dextre, (ou droit) pour , senestre (ou gauche) pour )
	Représentation par solénoïde torique de coefficient n = 3/2 : .
	Autre représentation : . Voir aussi ici un noeud de trèfle ouvert.

Le noeud de trèfle est l'unique noeud dont le nombre minimal de croisements est minimal, à savoir 3 ; il en existe en fait deux, énantiomorphes (images l'un de l'autre par réflexion).

C'est un demi-noeud de cordage :  dont on a relié les extrémités.
 

Le noeud de trèfle est aussi le noeud torique de type (3,2) (3 enroulements autour du tore, sur deux tours), ainsi que celui de type (2,3) :

noeud torique à 3 enroulements sur 2 tours

noeud torique à 2 enroulements sur 3 tours ; contrairement aux apparences, on obtient le noeud de trèfle et non le noeud en huit.

Le noeud de trèfle est le bord d'un ruban de Möbius à 3 demi-torsions.

 
 

Inversement, une bande nouée en noeud de trèfle peut donner un ruban de Möbius (noter ici les 3 demi-torsions) ; il s'agit de 3 bandes accolées découpées dans des cônes non circulaires, de directrice une courbe de Viviani et dont les sommets sont ceux du triangle rouge indiqué. L'ensemble est donc développable, mais le développement n'est pas rectiligne.
Tracé de la bande développable centrée sur la courbe [cos(u)+2*cos(2*u),sin(u)-2*sin(2*u),2*sin(3*u)], qui se développe donc en un rectangle, et qui donne pile un ruban de Möbius. Sauf que nous avons légèrement triché pour le raccordement qui ne se fait pas bord à bord mathématiquement, comme on voit ici...
Noeud de trèfle obtenu par pliement d'une bande rectiligne. Le ruban présente 6 demi-tours, donc n'est pas un ruban de Möbius (il a deux faces, et deux bords). (Logo du point gamma, soirée étudiante de Polytechnique).

 

Ci-contre, un noeud de trèfle obtenu par une ligne polygonale gauche fermée à 6 segments ; contrairement aux apparences, les 6 barres ne sont pas de la même longueur (les 3 barres extérieures sont plus courtes).

Anaglyphe réalisé par Alain Esculier, à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et cyan (à droite).

Ci-contre, un noeud de trèfle obtenu par 6 segments de même longueur ; les coordonnées des 6 points a,b,c,d,e,f sont : [[-1, 0, 0], [1, 0, 0], [(13-4*22^(1/2))/25, 6/5, -(4/25)*(-1+22^(1/2))*3^(1/2)], [-1/2, 3/5, (1/2)*3^(1/2)], [1/2, 3/5, -(1/2)*3^(1/2)], [(-13+4*22^(1/2))/25, 6/5, (4/25)*(-1+22^(1/2))*3^(1/2)], [-1, 0, 0]]:

 

Il est démontré qu'il est impossible d'obtenir un noeud de trèfle à 5 barres, excepté dans la figure impossible ci-contre (idée d'Alain Esculier, à la manière d'Oscar Reutersvärd.).

Pour 6 barres, impossible également que les segments soient deux à deux parallèles, sauf de nouveau pour cette figure impossible

Ci-contre, plusieurs vues d'un noeud de trèfle formé de lignes polygonales à angles droits. On démontre que cette figure représente le plus petit noeud de trèfle passant par les sommets d'un réseau cubique.

Deux autres versions polygonales à 9 et 12 segments.

 

L'appellation "noeud de trèfle" est probablement due à la ressemblance des représentations ci-contre avec une feuille de trèfle :

 

Ce noeud à 4 croisements apparents est un noeud de trèfle (tournez la boucle du haut pour faire disparaître le croisement central). Inversez les deux croisements du haut (ou du bas) et vous obtenez un noeud de huit.
La ficelle de ce paquet forme un noeud de trèfle (mais si l'on inverse un croisement, le noeud devient trivial).

 

On pourrait désigner par "noeud de trèfle à 4 feuilles" la courbe dont la projection sur xOy est une hypotrochoïde à 4 feuilles, de paramétrisation : . Le noeud obtenu est équivalent au noeud torique de type (4,3), et au 19ème noeud premier à 8 croisements. Le noeud ayant la même vue de dessus, mais des croisements alternés dessus-dessous est, lui, équivalent au 18ème noeud premier à 8 croisements (changer sin(4t) en sin(12t) dans les équations ci-dessus).
Ceci peut se généraliser au "noeud de trèfle à n feuilles" : qui est en fait équivalent au noeud torique de type (n, n – 1). Le cas alterné donnerait un bonnet turc de type (n, n – 1) (changer sin(nt) en sin(n(n-1)t) dans les équations ci-dessus).
Si on double le brin constituant le noeud de trèfle, on obtient ce bel entrelacs à 12 croisements. (idée d'Alain esculier)
Cette somme de deux noeuds de trèfle, donc un noeud plat, a été obtenue à partir de la courbe de paramérisation : .

Voir aussi les deux graphes associés au noeud de trèfle, la surface de Seifert associée, les noeud plats, et "de vache", sommes de deux noeuds de trèfle.

Le noeud de trèfle dans l'art :
 

Le noeud celtique simple est un noeud de trèfle.
Le noeud de trèfle vu par Escher.	Sculpture en noeud de trèfle, université de Flensburg. Ruban de Möbius à 3 demi-tours.

Le noeud de trèfle est souvent utilisé comme logo :
 

Somme de 4 noeuds de trèfles, celtique à gauche, mongole à droite.	Derrière le logo Woolmark, on peut imaginer un noeud de trèfle...
Logo de la région Haut-de-france	Logo du Cimat, centre de recherche mathématique à Guanajuato, Mexique. Le ruban est à deux demi-tours, donc non "de Möbius".
Noeud de trèfle celtique entrelacé avec un noeud trivial. N° 32 des entrelacs à 9 croisements.	Noeud de trèfle extra-terrestre !

courbe suivante

courbe précédente

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2015