Collier d'Antoine

COLLIER D'ANTOINE
Antoine's necklace, Antoinesche Halskette

Images réalisées par Alain Esculier

Objet inventé par Louis Antoine en 1921.
Site internet : images.math.cnrs.fr/Le-collier-d-Antoine.html

Le collier d'Antoine est l'objet limite obtenu en partant d'un anneau et en le remplaçant par une chaîne d'anneaux enlacés et en répétant à l'infini cette opération consistant à remplacer un anneau par une chaîne d'anneaux enlacés.

Le collier d'Antoine est homéomorphe à l'ensemble de Cantor, mais aucun homéomorphisme de l'espace dans lui-même ne peut envoyer le collier d'Antoine sur un ensemble de Cantor.

Ci-contre, les étapes 2 et 3 de la construction.

Principe de la procédure récursive utilisée par Alain Esculier pour construire ces images :

antoine(n,p,base)
   si n=1 alors renvoi base
               sinon
                       tp:=l'homothetique de antoine(n-1,p,base) de rapport r (c'est le maillon pour le nouveau collier)
                       collier=vide
                       pour i=1 à p : ( on construit le collier d'ordre supérieur )
                                  si p est pair alors on fait tourner tp de 90° autour de Ox
                                  puis rotation autour de 90°- 360*i/p autour de Oy et translation de R dans la direction 360*i/p
                                  on ajoute le nouveau maillon au collier
                       fin i
                  renvoi collier
      fin si