Icosidodécaèdre

ICOSIDODÉCAÈDRE
Icosidodecahedron, Ikosidodekaeder

Anaglype à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite)

Etymologie : De "icosi " 20, et "dodéca" 12 car il a 20 faces triangulaires et 12 faces pentagonales ; c'est aussi l'intersection d'un icosaèdre et d'un dodécaèdre ; le nom a été donné par Képler.
Vues Povray de cette page réalisées par Alain Esculier.

Famille

polyèdre semi-régulier ou polyèdre d'Archimède

Historique

solide connu d'Archimède (III^e s. av. J.C.)

Dual

Triacontaèdre rhombique

Faces

20 triangles et 12 pentagones

Sommets

30 sommets de degré 4, de code de Schläfli 3.5.3.5

Arêtes

60 arêtes de longueur a ; angle dièdre :

Patron et graphe

Diamètres

sphère inscrite dans les pentagones :

, dans les triangles :

intersphère (passant par les milieux des arêtes) :

; sphère circonscrite :

Coordonnées des 30 sommets

et ses permutés circulaires,

et ses permutés circulaires, où

Équations des plans faces
d'où : équation cartésienne de la surface

12 + 8 triangles :

et ses permutés circulaires, et

, 12 pentagones :

,
d'où l'équation

Équations des 6 plans passant par O contenant les arêtes,
d'où : équation cartésienne de la surface

et ses permutés circulaires,
d'où l'équation

(idée de Bernard Dupuy)

Mensurations

volume :

aire :

coefficient isopérimétrique :

Constructions

L'icosidodécaèdre est l'intersection d'un icosaèdre et du dodécaèdre dual polaire par rapport à l'intersphère (voir figure en bas de cette page)
c'est aussi un icosaèdre fortement tronqué
ainsi qu'un dodécaèdre fortement tronqué.

Plans de symétrie

Axes de rotation

6 axes passant par 2 pentagones opposés (4 rotations d'ordre 5 par axe)
10 axes passant par les centres de 2 triangles opposés (2 rotations d'ordre 3 par axe)
15 axes passant par 2 sommets opposés (1 rotation d'ordre 2 par axe)

Groupe des isométries

= celui de l'icosaèdre

Polyèdres dérivés

par troncature forte : polyèdre équivalent au rhombicosidodécaèdre ;
par troncature faible : polyèdre équivalent à l'icosidodécaèdre tronqué ;
par augmentation : hexacontaèdre trapézoïdal
voir aussi le dodécadodécaèdre, le grand dodécahémicosaèdre et le petit dodécahémicosaèdre qui ont les mêmes sommets, ainsi que grand icosidodécaèdre, le grand dodécahémidodécaèdre et le grand icosihémidodécaèdre.

Comme pour l'octaèdre, et le cuboctaèdre, les arêtes de l'icosidodécaèdre se regroupent en un certain nombre de polygones réguliers ; ici, en six décagones. Par projection centrale sur la sphère circonscrite, on obtient six grands cercles (voir les équations des six plans de ces six cercles à surface de Goursat).
On peut entrelacer dessus-dessous ces cercles de sorte à obtenir un entrelac premier à six composantes non nouées et trente croisements. A droite, projection stéréographique de ces six cercles, donnant la représentation "plane" de l'entrelac. On vérifiera que les composantes sont deux à deux enlacées.
Une propriété remarquable de l'icosidodécaèdre est que les distances angulaires en degré entre deux des 60 sommets (imégés comme des villes) sont toutes rationnelles et que 60 est le maximum possible pour cette propriété (sauf le cas où les "villes" seraient "alignées" sur un grand cercle). Par exemple la distance entre deux "villes" voisines situé sur un des grands cercle précédents est de 360/10° = 36°. Sur l'illustration ci-contre figurent d'autres grands cercles joignant de façon équidistantes 6 villes, donc distantes de 360/6° = 60°.
Ballon à tressage icosidodécaèdrique servant dans un jeu traditionnel aux Philippines. Et tressage icosidodécaèdrique plus moderne. Photo : Lévi Caparéda.

Les coutures du ballon jaune ci-contre suivent une structure icosidodécaédrique, et non celle d'un icosaèdre tronqué comme d'habitude. Pour le ballon de droite, ce sont les décorations qui sont, elles, icosidodécaédriques et reprennent l'entrelacs vu ci-dessus.

Si on pose l'icosidodécaèdre sur une face pentagonale et si on fait pivoter la moitié supérieure d'un dixième de tour, on obtient un polyèdre qui n'est plus semi-régulier mais reste inscriptible à faces régulières, dénommé pseudo-icosidodécaèdre ou, suivant la terminologie de Johnson orthobirotonde pentagonale (J 34).

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Objet icosidodécaédrique photographié au musée du compagnonage à Tours	Polyèdre composé de l'icosaèdre et de son dodécaèdre dual polaire par rapport à l'intersphère ; l'intersection donne l'icosidodécaèdre.