Cuboctaedre

CUBOCTAÈDRE
Cuboctahedron, Kuboktaeder

De cube et octaèdre (vient du fait que c'est l'intersection d'un cube et d'un octaèdre) ; nom donné par Képler.
Autre nom : dymaxion (donné par Buckminster Fuller).
Vues Povray de cette page réalisées par Alain Esculier.
Lien : mathematische-basteleien.de/kuboktaeder.htm
Octaèdre articulé transformé en cuboctaèdre : demonstrations.wolfram.com/HingedOctahedron/

Famille

polyèdre semi-régulier ou polyèdre d'Archimède

Historique

solide connu de Platon

Dual

dodécaèdre rhombique

Faces

8 triangles et 6 carrés ; c'est donc un tétradécaèdre.

Sommets

12 sommets de degré 4, de code de Schläfli 3.4.3.4 .

Arêtes

24 arêtes de longueur a ; angle dièdre :

= 125° 15' 52"

Patron

(6912 patrons en tout)

Graphe

Diamètres

sphère inscrite dans les carrés :

, dans les triangles :

intersphère (tangente aux arêtes) :

; sphère circonscrite : 2a (donc "arête" = "rayon")

Mensurations

volume :

aire :

coefficient isopérimétrique :

Coordonnées
des sommets

permutés circulairement, avec

Équations des 14 plans faces
d'où : équation cartésienne de la surface

les 6 carrés :

, les 8 triangles :

,
d'où l'équation :

Équations des 4 plans passant par O contenant les arêtes,
d'où : équation cartésienne de la surface

avec un nombre pair de signes moins,
d'où l'équation :

[P. Rotaru, Quadrature 64 , p. 24].

Constructions

Le cuboctaèdre est l'intersection d'un cube et d'un octaèdre, un tétraèdre;tronqué aux arêtes et aux sommets, et aussi un cube fortement tronqué, ainsi qu'un octaèdre fortement tronqué.

Polyèdres dérivés

par troncature faible modifiée : rhombicuboctaèdre ;
par troncature forte modifiée : cuboctaèdre tronqué ;
par augmentation : icositétraèdre trapézoïdal.
Voir aussi l'octahémioctaèdre et le cubohémioctaèdre, polyèdres étoilés qui ont les mêmes arêtes.

Plans de symétrie

les 3 plans contenant des diagonales de carrés opposés et les 6 plans contenant des hauteurs de triangles opposés.

Axes de rotation

3 axes passant par les centres de 2 carrés opposés (2 rotations d'ordre 4 par axe et une d'ordre 2)
4 axes passant par les centres de 2 triangles opposés (2 rotations d'ordre 3 par axe)
6 axes passant par 2 sommets opposés (1 rotations d'ordre 2 par axe)

Groupe des isométries

= celui du cube (ou de l'octaèdre).

Si l'on partage chaque face carrée en deux triangles de sorte que les 12 sommets deviennent de degré 5, on obtient un "polyèdre" équivalent à l'icosaèdre.

Si on pose le cuboctaèdre sur une face triangulaire et si on fait pivoter la moitié supérieure ou inférieure d'un sixième de tour, on obtient un polyèdre qui n'est plus semi-régulier mais reste inscriptible à faces régulières, dénommé gyro-cuboctaèdre, ou pseudo-cuboctaèdre ou, suivant la terminologie de Johnson : orthobicoupole hexagonale (J 27).

Les 24 arêtes du cuboctaèdre se regroupent en 4 hexagones réguliers.
Par projection centrale du squelette sur la sphère circonscrite, les 4 hexagones deviennent 4 grands cercles (cf. le même phénomène avec l'octaèdre et l'icosidodécaèdre).
Si l'on entrelace ces cercles avec alternance dessus-dessous, on obtient un entrelacs premier à quatre composantes et 12 croisements.

Le problème dit "de la treizième sphère", ou "du nombre d'embrassades" (kissing number).

L'arête du cuboctaèdre étant égale à son rayon, on peut placer 12 sphères de rayon 1 aux sommets d'un cuboctaèdre de rayon 2, sans qu'elles ne se chevauchent. Ces douze sphères étant tangentes à la sphère centrale de rayon 1, ceci montre que l'on peut placer 12 sphères autour d'une même sphère, toutes les sphères ayant même rayon (voir aussi la solution icosaèdrique) ; cette disposition est d'ailleurs celle du réseau cristallin dit "cubique à faces centrées", dont il a été montré récemment que c'est la disposition la plus compacte pour ranger des billes. Au XVII^e siècle, le mathématicien David Grégory, pensait qu'il restait suffisamment de place pour une treizième sphère, mais il a été démontré en 1874 que cette conjecture est fausse.

Par projection, ce problème est équivalent à celui consistant à placer sur une sphère un nombre maximal de calottes sphériques d'angle au centre 60°. Le maximum est douze, mais la solution cuboctaédrique n'est pas la seule.

Sources : Ian Stewart, Pour la Science 174, p. 102. et Marcel Berger, dossier Pour la Science 41 p. 68.

Voici, gravé par Escher, puis réalisé avec le logiciel povray par Alain Esculier, le polyèdre composé du cube et de l'octaèdre dual dont le cuboctaèdre est l'intersection :

Voir aussi la surface de Néovius, dont la cellule de base a une forme cuboctaédrique.

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres