Deltaèdre

DELTAÈDRE
Deltahedron, Deltaeder

De la lettre grecque delta, en forme de triangle.
Polyèdres étudiés par Freudenthal et Van der Waerden en 1947, par Martyn Cundy en 1952 qui les a dénommés ainsi.
Liens :
Wikipedia
mathematische-basteleien.de/deltaeder.htm

Un deltaèdre est un polyèdre à faces triangulaires équilatérales.
Les deltaèdres sont donc des polyèdres à faces régulières isométriques entre elles et qui ne sont pourtant, sauf trois d'entre eux, pas réguliers.
Il existe une infinité de deltaèdres, mais seulement 8 deltaèdres convexes, qui sont des cas particuliers de polyèdres CFR (convexes à faces régulières).

Un deltaèdre convexe a des sommets de degrés 3, 4, ou 5, les deux cas extrêmes étant : tous les sommets sont de degré 3 (tétraèdre régulier), et tous les sommets sont de degré 5 (icosaèdre régulier).

Voici la liste des 8 deltaèdres convexes :

Nom nomenclature
Johnson F S
(avec nbre de sommets
de degré 3, 4, 5) A construction vue

tétraèdre régulier 4 4=4+0+0 6

bipyramide triangulaire J₁₂ 6 5=2+3+0 9 deux tétraèdres réguliers accolés

octaèdre régulier 8 6=0+6+0 12 bipyramide carrée à faces régulières

bipyramide pentagonale J₁₃ 10 7=0+5+2 15 5 tétraèdres quasi réguliers (dont 5 arêtes ont la même longueur a, et la 6-ème ) accolés

dodécadeltaèdre
ou dodécaèdre siamois (Coxeter)
ou dodécaèdre à 2 tranchants (Guy Valette) J₈₄
disphénoïde adouci 12 8=0+4+4 18 deux pyramides pentagonales flexées symétriques plus une "bouche" formée de deux triangles.

tétradécadeltaèdre J₅₁
prisme triangulaire tri-augmenté 14 9=0+3+6 21 prisme triangulaire augmenté de 3 pyramides à bases carrées.

hexadécadeltaèdre J₁₇
bipyramide carrée gyro-allongée 16 10=0+2+8 24 antiprisme carré augmenté de deux pyramides à bases carrées

icosaèdre régulier 20 12=0+0+12 30

Un cuboctaèdre augmenté de 6 pyramides sur ses faces carrées donne un polyèdre convexe à 32 faces triangulaires... qui n'est pas un neuvième deltaèdre convexe, car lorsque les triangles deviennent équilatéraux, le polyèdre dégénère en un octaèdre.
A droite, jeu pour enfants à Guanajuato, Mexique.

Il existe par contre une infinité de polyèdres convexes à faces triangulaires non forcément équilatérales.
On peut considérer par exemple cette famille de polyèdres à 6n faces, formés de deux n-antiprismes accolés coiffés de deux n-pyramides :

Ou encore cette famille de polyèdres à 8n faces :

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Nom	nomenclature Johnson	F	S (avec nbre de sommets de degré 3, 4, 5)	A	construction	vue
tétraèdre régulier		4	4=4+0+0	6
bipyramide triangulaire	J₁₂	6	5=2+3+0	9	deux tétraèdres réguliers accolés
octaèdre régulier		8	6=0+6+0	12	bipyramide carrée à faces régulières
bipyramide pentagonale	J₁₃	10	7=0+5+2	15	5 tétraèdres quasi réguliers (dont 5 arêtes ont la même longueur a, et la 6-ème ) accolés
dodécadeltaèdre ou dodécaèdre siamois (Coxeter) ou dodécaèdre à 2 tranchants (Guy Valette)	J₈₄ disphénoïde adouci	12	8=0+4+4	18	deux pyramides pentagonales flexées symétriques plus une "bouche" formée de deux triangles.
tétradécadeltaèdre	J₅₁ prisme triangulaire tri-augmenté	14	9=0+3+6	21	prisme triangulaire augmenté de 3 pyramides à bases carrées.
hexadécadeltaèdre	J₁₇ bipyramide carrée gyro-allongée	16	10=0+2+8	24	antiprisme carré augmenté de deux pyramides à bases carrées
icosaèdre régulier		20	12=0+0+12	30

Il existe par contre une infinité de polyèdres convexes à faces triangulaires non forcément équilatérales. On peut considérer par exemple cette famille de polyèdres à 6n faces, formés de deux n-antiprismes accolés coiffés de deux n-pyramides :
Ou encore cette famille de polyèdres à 8n faces :