Icositetraedre_trapezoidal

ICOSITÉTRAÈDRE TRAPÉZOÏDAL
Trapezoidal icositetrahedron, Deltoidikositetraeder

Famille

polyèdre semi-régulier de deuxième espèce, polyèdre de Catalan

Historique

étudié par Catalan en 1862

Etymologie

icositétra = 24 ; les faces ne sont pas des trapèzes, mais des cerfs-volants ; il ne doit pas y avoir de terme grec ancien pour les cerfs-volants (chartaetós en grec moderne)

Autres noms

icositétraèdre deltoïdal, icositétraèdre tétragonal

Dual

rhombicuboctaèdre

Faces

24 cerfs-volants formés de deux triangles isocèles d'angles au sommet

; il possède donc trois angles aigus égaux à

Sommets

26, dont 8 sommets de degré 3, de code de Schläfli 4³ et 18 = 6 + 12 sommets de degré 4 de code 4⁴.

Arêtes

48, dont 24 arêtes de longueur

et 24 arêtes de longueur

angle dièdre :

Patron et graphe

Diamètres

sphère inscrite :

;
sphère circonscrite aux sommets de degré 3 :

, aux sommets de degré 4 : 2a.

Mensurations

volume :

aire :

.
coefficient isopérimétrique :

Constructions

Cuboctaèdre.augmenté sur chaque face d'une pyramide droite (6 pyramides carrées et 12 triangulaires). Les pyramides carrées doivent être telles que leurs arêtes forment trois octogones réguliers. Chaque face d'une pyramide triangulaire doit être coplanaire avec la face correspondante d'une pyramide carrée.
Construire une armature de 3 octogones réguliers deux à deux orthogonaux et former les plans contenant deux arêtes contigües de deux octogones, ce qui crée les 8 somets de degré 3.
La somme d'un cuboctaèdre (en jaune ci-contre) et de son dual le dodécaèdre rhombique (en rouge ci-contre) donne un "polyèdre" dont les faces sont des cerfs-volants gauches équivalent à l'icositétraèdre trapézoïdal (il est inscrit dans une sphère, et non circonscrit).

Coordonnées
des sommets

12 sommets du cuboctaèdre :

et permutés
8 sommets des pyramides triangulaires :

et permutés (formant un cube)
6 sommets des pyramides carrées :

et permutés (formant un octaèdre)

Groupe des isométries

= celui du cube

Si l'on tourne la calotte supérieure d'un huitième de tour (noter ci-contre que le sommet de degré 3 central est à l'aplomb d'un sommet de degré 4 et non 3), on obtient un polyèdre à faces isométriques et sommets réguliers qui n'est pas semi-régulier : le gyro-icositétraèdre trapézoïdal, lui-même dual du gyro-rhombicuboctaèdre. Il n'est pas semi-régulier car les sommets de degré 4 ne sont pas isométriques entre eux.

Si l'on partage les 8 faces d'un octaèdre en trois à partir du centre, ou les 6 faces d'un cube en quatre carrés, on obtient deux "polyèdres" (dont certaines faces sont coplanaires) ayant la structure de l'icositétraèdre trapézoïdal.

On peut passer continûment de l'un à l'autre ; on obtient l'icositétraèdre semi-régulier lorsque les trois octogones formés par les grandes arêtes sont réguliers.

Voir la page d'Alain Esculier expliquant le principe de cette expansion.

Les icositétraèdres intermédiaires ci-dessus ont pour sommets :
- les 6

et permutés (formant un octaèdre)
- les 12

et permutés (formant un cuboctaèdre), avec

- les 6

(formant un cube) , avec

.
Equation cartésienne de la surface :
max((1-k)(abs(x) + abs(y))+k abs(z) - ka, (1-k)(abs(y) + abs(z))+k abs(x) - ka, (1-k)(abs(z) + abs(x))+k abs(y) - ka) = 0
Le cas semi-régulier est obtenu pour

A droite : cas non convexe obtenu pour k < 1/2.

Les faces sont des cerfs-volants dont les angles sont donnés (avec les notations ci-contre) par :

L'intersection de 4 prismes hexagonaux réguliers pleins dont les axes sont les diagonales d'un cube (ou les 4 diagonales faciales d'un octaèdre) forme un solide dont la surface est un polyèdre équivalent à l'icositétraèdre, obtenu pour

(donc b = 2a/3, c = a/2) dans la définition précédente (idée de Bernard Dupuy).
Remarquer que chacune des 6 faces d'un prisme fournit 6 faces du polyèdre, qui possède donc bien 24 faces.

Note : ce polyèdre est identique à celui défini ici par un certain G. Haigh.

Les faces sont des cerfs-volants d'angles :

L'intersection de 4 cylindres de révolution pleins suivant les mêmes axes forme un solide de Steinmetz dont la surface a une structure d'icositétraèdre trapézoïdal (chaque cylindre forme un ruban composé de 6 "faces" du (faux) polyèdre) :

Intersections de 4 prismes réguliers à n faces pour des valeurs croissantes de n.

Cristal de leucite, en forme d'icositétraèdre trapézoïdal

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres