Icositetraedre_trapezoidal

ICOSITÉTRAÈDRE TRAPÉZOÏDAL
Trapezoidal icositetrahedron, Deltoidikositetraeder

Famille

polyèdre semi-régulier de deuxième espèce

Historique

étudié par Catalan en 1862

Etymologie

icositétra = 24 ; les faces ne sont pas des trapèzes, mais ressemblent à des trapèzes...

Autres noms

icositétraèdre deltoïdal, icositétraèdre tétragonal

Dual

rhombicuboctaèdre

Faces

24 cerfs-volants formés de deux triangles isocèles d'angles au sommet

Sommets

26, dont 8 sommets de degré 3, de code de Schläfli 4³ et 18 = 6 + 12 sommets de degré 4 de code 4⁴.

Arêtes

48, dont 24 arêtes de longueur

et 24 arêtes de longueur

angle dièdre :

Patron et graphe

Diamètres

sphère inscrite :

;
sphère circonscrite aux sommets de degré 3 :

, aux sommets de degré 4 : 2a.

Mensurations

volume :

aire :

.
coefficient isopérimétrique :

Construction

Cuboctaèdre.augmenté sur chaque face d'une pyramide droite (6 pyramides carrées et 12 triangulaires)
La somme d'un cuboctaèdre (en jaune ci-contre) et de son dual le dodécaèdre rhombique (en rouge ci-contre) donne un polyèdre qui est seulement équivalent à l'hexacontaèdre trapézoïdal (il est inscrit dans une sphère, non circonscrit)
Autre construction : prenez trois élastiques et ficelez un cube en passant par le milieu des arêtes ; ensuite, il faut tirer sur les élastiques...
Idem avec un octaèdre :

Coordonnées
des sommets

12 sommets du cuboctaèdre :

et permutés
8 sommets des pyramides triangulaires :

et permutés (formant un cube)
6 sommets des pyramides carrées :

et permutés (formant un octaèdre)

Groupe des isométries

= celui du cube

Si l'on tourne la calotte supérieure d'un huitième de tour (noter ci-contre que le sommet de degré 3 central est à l'aplomb d'un sommet de degré 4 et non 3), on obtient un polyèdre à faces isométriques et sommets réguliers qui n'est pas semi-régulier : le gyro-icositétraèdre trapézoïdal, lui-même dual du gyro-rhombicuboctaèdre. Il n'est pas semi-régulier car les sommets de degré 4 ne sont pas isométriques entre eux.

L'intersection de 4 cylindres de révolution pleins dont les axes sont les diagonales d'un cube (ou les 4 diagonales faciales d'un octaèdre) forme un solide de Steinmetz dont la surface a une structure d'icositétraèdre trapézoïdal (chaque cylindre forme un ruban composé de 6 "faces" du (faux) polyèdre) :

Cristal de leucite, en forme d'icositétraèdre trapézoïdal