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DODÉCAÈDRE RHOMBIQUE
Rhombic dodecahedron, Rhombendodekaeder

                    .
Anaglyphe à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite).

Programme Maple de tracé.

 
Liens :
cm2.ens.fr/video/Dupas-polyedres/herbier/rhombique.htm
mathematische-basteleien.de/rhombendodekaeder.htm

 
Étymologie rhombique : du grec rhombos "losange".
Autres noms dodécaèdre rhomboïdal, rhombododécaèdre, ou granatoèdre (du latin granatus "grain, grenat", le grenat prenant des formes de dodécaèdre rhombique)
Famille polyèdre semi-régulier de deuxième espèce
également : paralléloèdre, zonoèdre.
Historique solide connu d'Archimède (IIIe s. av. J.C.) ???
Dual cuboctaèdre
Faces 12 losanges dont les grande et petite diagonale sont dans le rapport , de grand angle et de petit angle ,  de petite diagonale , et de grande diagonale .
Sommets 8 sommets de degré 3, de code de Schläfli 43 et 6 sommets de degré 4 de code de Schläfli 44.
Arêtes 24 arêtes de longueur a ; angle dièdre : 120°.
Patron
Graphe
ou
Diamètres sphère inscrite :  ; intersphère (tangente aux arêtes) :  ; sphère circonscrite aux sommets de degré 3 : 2a, aux sommets de degré 4 : .
Mensurations volume :    aire : 
coefficient isopérimétrique : .
Coordonnées 
des sommets		 les 8 sommets de degré 3 formant un cube :  avec ,
les 6 sommets de degré 4 formant un octaèdre :  et permutés.
Equations des 12 plans faces

Equation du solide plein 		 , intersection des 3 cylindres carrés d'équations , etc.
Equation de la surface   ou .
Constructions
cube augmenté sur chaque face d'une pyramide dont les faces font un angle de 45° avec la base, donc de hauteur la moitié du côté du cube ; comparer avec la construction du tétraki-hexaèdre où les pyramides ont une hauteur égale au quart du côté du cube.
Voir ici le principe de cette construction.
octaèdre augmenté sur chaque face d'une pyramide dont les angles des faces avec la base sont tels que chaque face est coplanaire avec celle de la pyramide voisine; comparer avec la construction du triaki-octaèdre.
cube tronqué aux arêtes (la troncature intermédiaire est le dodécaèdre rhombique tronqué)
octaèdre tronqué aux arêtes

Voir aussi cette page.
Polyèdres dérivés Par troncature des 6 sommets de degré 4 : dodécaèdre rhombique tronqué.
Par adoucissement : 
Stellations : voir ci-dessous
Plans de symétrie 9
Axes de rotation
3 axes passant par 2 sommets de degré 4
(2 rotations d'ordre 4  par axe et une d'ordre 2)
4 axes passant par 2 sommets de degré 3 (2 rotations d'ordre 3  par axe)
6 axes passant par les centres de deux faces opposées (1 rotations d'ordre 2  par axe)
Groupe des isométries  = celui du cube

 
 
Le dodécaèdre rhombique plein est l'enveloppe convexe des sommets du cube et de son dual polaire, qui est un octaèdre ; les arêtes du cube sont alors les petites diagonales des faces du dodécaèdre, et celles de l'octaèdre les grandes.

 
Le dodécaèdre rhombique pose des problèmes de vision dans l'espace, car lorsqu'on le regarde suivant une diagonale, on a l'impression de voir un cube : le dodécaèdre plein est en fait formé de 4 rhomboèdres (que l'on prend pour des cubes).
Remarquons que chaque rhomboèdre a 3 faces libres et une face en commun avec chacun des 3 autres.

Voir ici une superbe animation de cette décomposition.

 
Si, à partir d'un tétraèdre régulier de sommets les 4 points Ai=  avec un nombre pair de –1 :
  - on ajoute 6 sommets Bi =, situés à distance a du centre O du tétraèdre sur les demi-droites issues de O passant par les milieux des arêtes,

  - on ajoute 4 sommets situés à distance b du centre sur les demi-droites issues de O passant par les centres des faces du tétraèdre, Ci =  avec un nombre impair de –1,
  - et on détermine b de sorte que les quadrilatères créés par les 4 sommets précédents soient plans : .
On obtient un dodécaèdre dont les faces sont des cerfs-volants.
Le cas rhombique est obtenu pour a = 2, donc b = 1.
Pour a = 3, donc b = 3, on réobtient un tétraèdre.
Voir la page d'Alain Esculier expliquant le principe de cette expansion.

Cas a = 1.
 

 
Cas  où les Ai  et les Bi sont cosphériques.

Animation pour a allant de 1 à 3.

 
 
Les faces du dodécaèdre rhombique se regroupent en trois anneaux carrés de quatre losanges chacun, rouge, bleu, vert sur la figure ci-contre. De fait, comme vu dans les équations ci-dessus, le polyèdre plein est l'intersection de trois cylindres pleins à section carrée deux à deux orthogonaux disposés comme sur la deuxième figure.
Si l'on remplace les trois cylindres pleins à section carrée par des cylindres de révolution, la frontière de l'intersection possède la même structure que le dodécaèdre rhombique ; mais les "faces" sont des portions de cylindres, et les "arêtes", des portions d'ellipses.
Ce sont des cas particuliers de solides de Steinmetz.

Figures d'Alain Esculier.
L'intersection de quatre prismes triangulaires d'axes les quatre diagonales d'un cube, ou les quatre diagonales faciales d'un octaèdre, donne un polyèdre à 4x3 = 12 faces qui n'est autre que le dodécaèdre rhombique. Il y a cette fois quatre groupes de trois faces de même couleur.

 
Si l'on prolonge chaque face losange du dodécaèdre rhombique en un composé de deux triangles comme indiqué si contre, on obtient un polyèdre étoilé dénommé "première stellation du dodécaèdre rhombique", qui est toujours inscrit dans les 3 tubes carrés précédents. Les triangles sont isocèles non équilatéraux (base 4a/rac(3), côtés 2a).
On peut arranger les 2.12 = 24 faces triangulaires de ce polyèdre en 3 groupes de 8 formant 3 octaèdres non réguliers mais à faces isocèles "égales".
Chacun de ces octaèdres plein est l'intersection de deux tubes carrés plein.

 
Le dodécaèdre rhombique plein est réunion de douze pyramides de sommets son centre.
Si l'on pose sur chaque face une pyramide égale à la pyramide intérieure, on obtient un polyèdre plein équivalent au polyèdre précédent.

L'animation ci-contre montre de plus que les 12 sommets de ce polyèdre étoilé sont ceux d'un cuboctaèdre.

 
On retrouve aussi cette stellation dans la célèbre gravure d'Escher dénommée "Chute d'eau", d'où son surnom de "solide d'Escher.

 
Construction d'un dodécaèdre rhombique à partir de cubes, par la méthode de l'abbé René-Just Haüy (voir aussi sa méthode de construction de l'octaèdre).

L'unité de longueur étant le côté des petits cubes, on a à l'étape n en partant de l'étape 0 un cube de côté 2n + 1 surmonté de 6 pyramides de hauteur n. Cette construction tend vers un cube augmenté de 6 pyramides de hauteur la moitié du côté du cube, ce qui est bien un dodécaèdre rhombique.

Le nombre de cubes à l'étape n en partant de l'étape 0 vaut : 
1, 33, 185, 553, 1233, etc voir la suite A046142 de l'OEIS.
 
Dans la construction similaire ci-contre où l'on remarquera deux marches de même longueur. Elle tend aussi vers le dodécaèdre rhombique.
Le nombre de cubes à l'étape n en partant de l'étape 0 vaut :
 1 (par convention), 7, 87, 335, 847, 1719, etc voir la suite A254473 de l'OEIS.

 
Le dodécaèdre rhombique plein est une projection affine de l'hypercube de dimension 4 plein.
Dans l'anaglyphe ci-contre, à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite), on essaiera de distinguer les 6 parallélépipèdes projetés des 6 cellules cubiques de l'hypercube.

 
Comme avec des cubes, on peut paver (c'est-à-dire remplir sans trou ni chevauchement) l'espace avec des dodécaèdres rhombiques.

Ci-contre, animation montrant l'agencement des douze dodécaèdres rhombiques accolés aux douze faces d'un autre dodécaèdre rhombique, centrés aux sommets d'un cuboctaèdre.

Ce pavage de dodécaèdres rhombiques se déduit d'un pavage de cubes en formant dans un cube sur deux les 6 pyramides de base une face et de sommet le centre du cube, et en les accolant aux cubes contigus afin de former des dodécaèdres rhombiques.

Voir aussi à également à paralléloèdre.
Cette propriété de pavage provient du fait que le dodécaèdre rhombique n'est autre que le "domaine fondamental" (à savoir le domaine formé des points pour lesquels le noeud le plus proche est le noeud considéré) d'un réseau cubique à faces centrées.

Ici, les dodécaèdres sont centrés aux points de coordonnées, avec i,j,k entiers de somme paire.
 

 

 
Le réseau cubique à faces centrées est obtenu à partir de deux réseaux cubiques simples, chaque noeud de l'un étant au centre d'un cube formé par 8 noeuds de l'autre.

On définit la densité d'un réseau comme la limite du rapport du volume total des sphères identiques tangentes centrées aux noeuds du réseau situées dans un domaine donné, au volume du domaine, lorsque le domaine "tend" vers l'espace entier.
Il se trouve que le réseau cubique à faces centrées est plus dense (densité ) que le réseau cubique centré, dont le domaine fondamental est l'octaèdre tronqué.

 
Le réseau cubique à faces centrées est celui qu'on obtient naturellement lorsqu'on range des oranges ou des boulets de canon (que l'on parte d'une base carrée ou triangulaire).

 

 
Le domaine fondamental du réseau hexagonal compact, fournit un autre polyèdre qui pave l'espace, combinatoirement équivalent au dodécaèdre rhombique, mais dont les faces sont constituées de 6 trapèzes et 6 losanges, d'où son nom de dodécaèdre trapézo-rhombique.
Ce polyèdre n'est autre que le dual du pseudo-cuboctaèdre.
Il existe une infinité de dodécaèdres à faces losanges équivalents au dodécaèdre rhombique semi-régulier, mais un seul autre à faces losanges isométriques, le dodécaèdre rhombique de Bilinski découvert en 1960, dont les faces sont du même type que celles du triacontaèdre rhombique (voir ici la relation entre ces deux polyèdres). Celui-ci pave également l'espace.
Photo : Gilles Josse.

 
Les baies de grenade, à cause de la compression, tendent à s'empiler en réseau cubique à face centrée, ce qui explique qu'elles prennent la forme approximative de dodécaèdres rhombiques.

 
Les alvéoles d'abeilles ont la forme de prismes hexagonaux terminés par trois losanges faisant entre eux des angles de 120° ; ces trois losanges sont donc les 3 faces aboutissant à un sommet de degré 3 d'un dodécaèdre rhombique. On montre que cet angle de 120° est celui qui minimise l'aire de l'alvéole, de sorte que les abeilles résolvent un problème d'extrémum !

 
Dans cette gravure tirée de "de divina proportione", intitulée "hexacedron elevatus vacuus", Léonard a placé manifestement des pyramides à faces équilatérales, ce qui ne donne pas exactement le dodécaèdre rhombique, mais donne une bonne idée de sa construction.
Les armatures de cette pyramide de cordes forment un demi dodécaèdre rhombique.
 Cristal de grenat grossulaire, en forme de dodécaèdre rhombique.

Voir aussi l'hypergranatoèdre, version 4D du dodécaèdre rhombique, et le triacontaèdre rhombique, qui est à la paire dodécaèdre-icosaèdre ce qu'est le dodécaèdre rhombique à la paire cube-octaèdre.



Animation réalisée par Alain Esculier


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© Robert FERRÉOL 2023