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ZONOÈDRE
Zonohedron, Zonoeder
Notion étudiée par E.
S. Fedorov en 1893, et par P.S. Donchian en 1930.
Autre nom : zonaèdre. Liens : www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/ukraine/ukraine.html www.northforktrails.com/RussellTowle/Zonohedra/zonohedra.html www.georgehart.com/virtual-polyhedra/dissection-re.html maths.ac-noumea.nc/polyhedr/p_rhomb.htm |
Un zonoèdre est un polyèdre convexe
dont toutes les faces ont un centre de symétrie (les faces sont
donc des
zonogones).
Le zonoèdre est dit équilatéral
si toutes ses arêtes ont la même longueur. C'est le cas des
polyèdres convexes dont toutes les faces sont des losanges, appelés
polyèdres rhombiques, ou rhombizonoèdres (le
terme
rhomboèdre
étant réservé au parallélépipède
à faces losanges).
Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un
polyèdre plein soit un zonoèdre est qu'il soit obtenu comme
somme
de Minkowski d'un certain nombre p de segments non coplanaires.
Concrètement cela signifie que le zonoèdre plein est obtenu en partant d'un point par une succession de p translations, en conservant la trace de ces translations. Ceci étant justement la façon dont est obtenue un hyperparallélépipède de dimension p, un zonoèdre plein est donc un polyèdre plein qui est projection tridimensionnelle (affine) d'un parallélotope de dimension p plein. Notons qu'un zonoèdre a un centre de symétrie, mais que la réciproque est fausse, comme le montre l'octaèdre. |
Premier cas : les p segments sont trois à
trois non coplanaires.
Le zonoèdre possède alors
faces parallélogrammiques (les divers parallélogrammes construits
en prenant deux segments parmi les p, répétés
deux fois par symétrie).
On en déduit qu'il possède
arêtes et
sommets.
De plus on montre que le zonoèdre plein peut être
pavé par des parallélépipèdes, translatés
des
parallélépipèdes construits en choisissant 3 segments
parmi les p segments de base.
Enfin, la surface du zonoèdre est recouverte par
p
zones (d'où son nom) formées chacune de 2(p –1)
parallélogrammes, parallélogrammes dont deux côtés
ont la même direction. Chaque parallélogramme est traversé
par deux zones.
On peut étirer où contracter des zones
(de sorte par exemple à rendre le zonoèdre équilatéral).
La contraction complète d'une zone donne un p
–1-zonoèdre.
Pour illustrer les cas particuliers suivants, nous avons
choisi le cas où le k-ième segment est image du premier
d'entre eux par rotation de k + 1 p-ième de tour,
de sorte que le zonoèdre est équilatéral et possède
une symétrie de rotation d'ordre p ; on le désigne
par p-rhombizonoèdre polaire.
Pour p = 3, on obtient les parallélépipèdes : , 3 zones de 4 faces. |
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Pour p = 4, on obtient des polyèdres équivalents au dodécaèdre rhombique : , 4 zones de 6 faces, pavage par 4 parallélépipèdes. | |
Pour p = 5, on obtient des icosaèdres :,
5 zones de 8 faces, pavage par 10 parallélépipèdes.
Il y a deux sommets de degré 5, 10 sommets de degré 3, et 10 de degré 4. |
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Et pour p = 6, on obtient des triacontaèdres
:, 6 zones
de 10 faces, pavage par 20 parallélépipèdes.
Attention : le triacontaèdre rhombique polaire
ci-contre, qui a deux sommets de degré 6, 12 sommets de degré
3, et 18 sommets de degré 4 n'est pas équivalent au triacontaèdre
rhombique semi-régulier qui a 20 sommets de degré 3 et
12 sommets de degré 5.
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Deuxième cas : il peut y avoir trois segments coplanaires.
q segments coplanaires vont faire apparaître
deux faces q-zonogones
symétriques, en remplacement de q(q–1)/2 paires de
parallélogrammes symétriques.
Exemples :
1) p –1 segments coplanaires et le p-ième
non coplanaire donne un prisme de
base un p–1-zonogone.
2) L'octaèdre tronqué.
6 vecteurs ayant 4 groupes de 3 vecteurs coplanaires, donnent un zonoèdre possèdant 4 paires de faces opposées hexagonales. Le 6-zonoèdre à 30 faces dégénère donc dans ce cas en un polyèdre à 30 – 3.8 +8 = 14 faces ; par exemple, les vecteurs a,b,c,a–b,b–c,c–a, avec a=(1, 1, 0), b=(1, 0, 1), c=(0, 1, 1), donnent par exemple l'octaèdre tronqué. Recréons le triacontaèdre en tracant 3 losanges
dans chaque carré.
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3) Le dodécaèdre rhombique allongé,
ou dodécaèdre rhombo-hexagonal.
On prend les 4 vecteurs engendrant le dodécaèdre rhombique, auxquels on adjoint les deux tiers de leur somme : (0,rac(3),1),(rac(3),0,1),(0,–rac(3),1),(–rac(3),0,1),(0,0,2). Attention, les hexagones sont des zonogones équilatéraux, mais ne sont pas réguliers. |
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4) L'icosidodécaèdre
tronqué.
Ci dessous les 15 vecteurs de base.
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Voir aussi la page sur les paralléloèdres (zonoèdres pavant l'espace), et la généralisation aux zonotopes.
6-rhombizonoèdre polaire, projection d'un 6-hypercube, par Alain Esculier.
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© Robert FERRÉOL 2022