Un polyèdre est dit être obtenu par troncature des sommets d'un polyèdre convexe s'il résulte de la suppression dans ce dernier de pyramides en chaque sommet, les diverses pyramides ne devant se toucher éventuellement qu'en leurs sommets.

 
 

On parle de troncature forte (ou de rectification) lorsque les arêtes des pyramides sont les moitiés des arêtes du polyèdre de départ. Pour qu'un polyèdre (P0) admette une troncature forte, il faut et il suffit que, pour tout sommet A de P0, les sommets voisins de A soient coplanaires. Cette condition est en particulier réalisée dans les deux cas suivants : tous les sommets de P0 sont de degré 3; P0 est un polyèdre  IFR. Chaque face du polyèdre de départ (P0) est alors remplacée par une face ayant le même ordre, et il apparait S nouvelles faces, dont l'ordre est le degré du sommet tronqué. Si S0, F0, A0 sont les nombres de sommets, de faces et d'arêtes de (P0), on a : S = A0 F = S0+F0 A = 2A0 Les troncatures fortes d'un polyèdre et de son dual, si elles existent, sont équivalentes.

 

On parle de troncature faible lorsque les arêtes des pyramides ont une longueur égale à k fois celles des arêtes du polyèdre de départ, avec k < 1/2 (même remarque que ci-dessus quant à l'existence du polyèdre tronqué). Pour qu'une face régulière d'ordre n donne par troncature un face régulière, il faut prendre . Chaque face du polyèdre de départ (P0) est alors remplacée par une face dont l'ordre a doublé, et il apparait S nouvelles faces, dont l'ordre est le degré du sommet tronqué. Si S0, F0, A0 sont les nombres de sommets, de faces et d'arêtes de (P0), on a : S = 2A0 F = S0+F0 A = 3A0

Exemples : les 5 polyèdres réguliers fournissent, par troncature forte ou faible, 7 des 13 polyèdres archimédiens :
 

Polyèdre de départ	Polyèdre fortement tronqué aux sommets (ou rectifié)	Polyèdre faiblement tronqué aux sommets
polyèdre régulier de code pq (à chaque sommet arrivent q p-gones)	polyèdre semi-régulier de code  q. (p)2	polyèdre semi-régulier de code  q. (2p)2
tétraèdre régulier	octaèdre régulier	tétraèdre tronqué (k = 1/3)
cube	cuboctaèdre	cube tronqué ()
octaèdre régulier	cuboctaèdre	octaèdre tronqué (k = 1/3)
dodécaèdre régulier	icosidodécaèdre	dodécaèdre tronqué .
icosaèdre régulier	icosidodécaèdre	icosaèdre tronqué (k = 1/3)

 

Observer successivement tétraèdre,  tétraèdre tronqué,  octaèdre,  octaèdre tronqué  puis cuboctaèdre.

Les polyèdres obtenus par troncature des polyèdres semi-réguliers ne sont plus semi-réguliers, mais certains sont équivalents à des polyèdres semi-réguliers :
 

Départ	troncature forte	troncature faible
cuboctaèdre	équivalent au rhombicuboctaèdre	équivalent au cuboctaèdre tronqué k = 1/3 : seules les faces hexagonales sont régulières
icosidodécaèdre	équivalent au rhombicosidodécaèdre	équivalent à l' icosidodécaèdre tronqué k = 1/3 : seules les faces hexagonales sont régulières

 

Observer successivement dodécaèdre,  dodécaèdre tronqué,  icosidodécaèdre,  pseudo-icosidodécaèdre tronqué pseudo-rhombicosidodécaèdre

Voici les résultats des troncatures fortes successives du cube :
à partir de l'étape 5, les faces obtenues ne sont plus planes, et le solide obtenu n'est plus à proprement parler un polyèdre.

		Quelle est la surface limite ????

On peut aussi appliquer la troncature aux polyèdres étoilés à faces non étoilées ; par exemple, la troncature faible ou forte des 2 polyèdres étoilés réguliers de Poinsot fournit 4 polyèdres étoilés semi- réguliers :
 

Polyèdre de départ	Polyèdre fortement tronqué	Polyèdre faiblement tronqué
grand dodécaèdre	dodécadodécaèdre	grand dodécaèdre tronqué
grand icosaèdre	grand icosidodécaèdre	grand icosaèdre tronqué

Autre méthode de construction de polyèdres : la troncature des arêtes,  l'augmentation.
 

Un rhomboèdre à deux sommets opposés tronqués apparait dans la célèbre gravure d'Albert Dürer "melancolia" :

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL  2014