Polyèdres étudiés par Guy Valette en 1969. G. VALETTE, les polyèdres inscriptibles à faces régulières, Acad Roy. belg., Bull. Cl. Sci. n° 10, 1969. Voir aussi articles de Marc Wouts dans Quadrature n° 39 et 42.

Un polyèdre inscriptible à faces régulières (en abrégé : IFR) est, comme son nom l'indique, un polyèdre dont les sommets sont situés sur une sphère et dont les faces sont des polygones réguliers.

Une condition équivalente est que le polyèdre soit inscriptible et ait toutes ses arêtes de même longueur.

On montre qu'un polyèdre IFR est convexe ; les polyèdres IFR sont donc les polyèdres convexes à faces régulières (CFR) inscriptibles, et l'on montre qu'un polyèdre CFR est un polyèdre IFR ssi les sommets voisins (i.e. reliés par une arête) d'un sommet donné sont toujours cocycliques.

Un polyèdre IFR fournit, par projection sur la sphère circonscrite, un pavage de la sphère par des polygones sphériques réguliers, et cette correspondance est bijective : la recherche des polyèdres IFR est donc équivalente à celle des pavages de la sphère par des polygones réguliers.

Hormis les polyèdres semi-réguliers, il existe exactement 25 polyèdres IFR, lesquels sont apparentés à 6 des 13 polyèdres archimédiens (l'octaèdre, l'icosaèdre, le cuboctaèdre, le rhombicuboctaèdre, l'icosidodécaèdre, et le rhombicosidodécaèdre). "Apparenté" signifie que ces polyèdres sont des fragments des polyèdres de départ ou des polyèdres obtenu par recollement de ces fragments.
 
 

Polyèdre archimédien	Polyèdres IFR apparentés
octaèdre	1 exemplaire pyramide carrée  Nomenclature Johnson : J1
icosaèdre	4 exemplaires pyramide pentagonale Nomenclature Johnson : J2 icosaèdre diminué Nomenclature Johnson :  pyramide pentagonale gyro-allongée J11 icosaèdre bidiminué Nomenclature Johnson : icosaèdre métabidiminué J62 icosaèdre tridiminué Nomenclature Johnson : J63
cuboctaèdre	2 exemplaires coupole hexagonale Nomenclature Johnson : coupole triangulaire J3 bicoupole hexagonale ou gyro-cuboctaèdre, ou pseudo-cuboctaèdre Nomenclature Johnson : orthobicoupole triangulaire J27
rhombicuboctaèdre bicoupole octogonale allongée	3 exemplaires coupole octogonale Nomenclature Johnson : coupole carrée J4 coupole octogonale allongée Nomenclature Johnson : coupole carrée allongée J19 bicoupole octogonale pivotée et allongée ou gyro-rhombicuboctaèdre ou pseudo-rhombicuboctaèdre Nomenclature Johnson : gyrobicoupole carrée allongée J37
icosidodécaèdre birotonde décagonale pivotée	2 exemplaires rotonde décagonale Nomenclature Johnson : rotonde pentagonale J6 birotonde décagonale ou gyro-icosidodécaèdre, ou pseudo-icosidodécaèdre Nomenclature Johnson : orthobirotonde pentagonale J34
rhombicosidodécaèdre	13 exemplaires coupole décagonale Nomenclature Johnson : coupole pentagonale J5 rhombicosidodécaèdre pivoté ou gyro-rhombicosidodécaèdre (coupole supérieure tournée d'un dixième de tour) Nomenclature Johnson :  J72 ainsi que les rhombicosidodécaèdre parabipivoté (J73), métabipivoté (J774), tripivoté (J75), diminué (J76), diminué et parapivoté (J77), diminué et métapivoté (J78), diminué et bipivoté (J79), parabidiminué (J80) , métabidiminué(J81), bidiminué et pivoté (J82) et tridiminué (J83).

Malgré les apparences, ce polyèdre, obtenu par chanfreinage de l'icosaèdre tronqué n'est pas un polyèdre IFR (les triangles bleus sont isocèles mais non équilatéraux)

© Robert FERRÉOL 2005