La notion de parallélotope est la généralisation à la dimension n de celle de parallélogramme en 2D et de celle de parallélépipède en 3D.

On peut les définir par récurrence en partant des segments en disant qu'un parallélotope de dimension n résulte de la translation d'un parallélotope de dimension n–1 dans une direction autre que celle de l'hyperplan de ce parallélotope.
On peut donc caractériser les parallélotopes comme :
    - les hyperprismes dont les deux bases sont des parallélotopes
    - les hyperprismes dont toutes les cellules sont elles-mêmes des hyperprismes
    - les zonotopes de dimension n engendrés par n segments de base. Un parallélotope plein de dimension n est donc la somme de Minkowski de n segments situés dans des directions indépendantes.

Autre condition nécessaire et suffisante pour qu'un polytope de dimension n soit un parallélotope : avoir 2n hyperfaces se regroupant en n couples d'hyperfaces parallèles.

Par contre, un polytope de dimension n peut avoir toutes ses k-cellules avec k <n qui sont des parallélotopes sans être un parallélotope (par exemple le dodécaèdre rhombique en dimension 3).

Un parallélotope de dimension n dont les arêtes ont même longueur est appelé un rhombotope ; toutes les cellules sont alors des rhombotopes (généralisation de la notion de losange en 2D et de rhomboèdre en 3D) ; CNS : parallélotope dont toutes les k-cellules (pour un k fixé) sont isométriques.

Un parallélotope à hyperfaces contiguës orthogonales est dit rectangle, et parfois désigné orthotope.

Les rhombotopes rectangles sont les hypercubes.

Inversement, les parallélotopes sont les déformations affines de l'hypercube. Se référer donc à la page hypercube pour les nombres de k-cellules et autres propriétés combinatoires.

Attention : la notion de parallélotope n'est pas la généralisation à une dimension quelconque de celle de paralléloèdre (= polyèdre pavant l'espace par translations) ; les parallélotopes pavent l'espace de dimension n par translations mais ce ne sont pas les seuls. Nous désignerons ces derniers polytopes par "parallélotopes généralisés".

Autant les parallélogones sont tous des zonogones, et les paralléloèdres tous des zonoèdres, en dimension supérieure ou égale à 4 il existe des parallotopes généralisés qui ne sont pas des zonotopes. Par exemple, le 24-cellules dont les faces sont des triangles, donc qui n'est pas un zonotope, pave l'espace par translations.
 
 

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© Robert FERRÉOL 2015