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POLYTOPE


Du grec polus "plusieurs" et topos "lieu". Nom donné par Alicia Boole Stott.
Anciens noms : polyèdroïde, hyperpolyèdre.

La notion de polytope est la généralisation à une dimension quelconque de celle de polygone et de polyèdre pour les dimensions 2 et 3.

On peut la définir par récurrence de la façon suivante :

1) Un polytope de dimension 0 est un ensemble contenant un point unique.

2) Dans un espace euclidien à au moins n dimensions E, un polytope P de dimension n (ou n-polytope) est un ensemble fini non vide de n–1-polytopes (les n–1-cellules ou hyperfaces de P) situés dans des sous-espaces de dimension n – 1 de E , tels que
    a) chaque hyperface (n–2-cellule) de chaque hyperface ( n–1-cellule) de P coïncide avec une n–2-cellule d'une seule autre hyperface de P, laquelle n'engendre pas le même sous-espace de E que la première.
    b) deux hyperfaces de P sont toujours reliés par une suite d'hyperfaces ayant chacune une hyperface commune avec la suivante (condition de connexité).
    c) deux hyperfaces n'ont aucun point intérieur en commun (condition de non croisement)

Les cellules des hyperfaces de P sont décrétées êtres aussi les cellules du polytope P ; un n-polytope possède au moins  k-cellules.

Les n–1-cellules du polytope sont parfois appelées ses facettes, ses n–2-cellules ses crêtes et ses 1-cellules ses arêtes.

On classe les n-polytopes suivant leur nombre d'hyperfaces appelé l'ordre du polytope, en utilisant les suffixes grecs suivants :
 
      4 5 6 7 8 9 10
      tétra penta hexa hepta octa ennéa déca

 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
hendéca ou
undéca		 dodéca triadéca tétradéca  le suffixe ...
...ci-dessus..
 plus déca   ...  ... icosa

 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
icosiéna icosidi icositri icositétra icosi plus le...  ...suffixe.... ...ci-dessus  ...  ... triaconta

 
31 33   40 50 60 70 80 90 100 1000 10000
triacontaéna triacontadi etc. tétraconta pentaconta hexaconta heptaconta octaconta ennéaconta hecta kilia myria

Le nombre de k-cellules qui aboutissent à un sommet est le k-degré du sommet, toujours ³ n.

La frontière du polytope est la réunion des hyperfaces pleines ; c'est une variété de dimension n – 1 connexe compacte plongée dans Rn ; le polytope est dit simple lorsque sa frontière est homéomorphe à l'hypersphère de dimension n – 1 Sn-1. Les nombres  de k-cellules d'un n-polytope sont alors reliés par la relation d'Euler-Poincaré : .

Le squelette du polytope est la réunion de ses arêtes pleines. Et on désigne par graphe des arêtes du polytope tout graphe dont les sommets sont associés aux sommets du polytopes, deux sommets étant reliés si dans le polytope un arête joint les sommets correspondants (une projection du squelette dans R3 visualise ce graphe)

Le polytope plein est la réunion de sa frontière et des points "intérieurs" à cette frontière, c'est-à-dire ceux qui sont tels que toute courbe continue partant d'un tel point et allant à l'infini rencontre la frontière.

Deux polytopes sont dits (combinatoirement) équivalents s'il existe une bijection entre les sommets, conservant toutes les cellules. Une classe d'équivalence est un type de polytope.

Un polytope est dit convexe si le polytope plein est convexe ; toutes les cellules sont alors convexes, et le polytope plein est l'enveloppe convexe de ses sommets. Tout ensemble de sommets situé dans un même sous-espace de dimension n – 1, maximal pour cette propriété, est alors l'ensemble des sommets d'unehyperface du polytope.

Une partie bornée de E de dimension n,  est un polytope plein convexe ssi c'est une intersection d'un nombre fini de demi-espaces fermés.
Un polytope convexe est simple et tout polytope simple est équivalent à un polytope convexe.


Un polytope convexe est dit inscriptible, si ses sommets sont situés sur une (hyper)sphère de dimension n – 1 .
Un polytope convexe est dit circonscriptible, si ses n–1-cellules prolongées sont tangentes à une même (hyper)sphère de dimension n –1.

Exemples de familles de polytopes de dimensions quelconques :
les parallélotopes, et plus généralement les zonotopes, les hypertétraèdres, hyperpyramides, hyperprismes, les polytopes réguliers.

Voir les cas particuliers des 4-polytopes, ou polychores.
 
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© Robert FERRÉOL  2015