Notion étudiée par Ludwig Schläfli. Autre site : en.wikipedia.org/wiki/Regular_polytope

Un polytope est dit régulier si toutes ses hyperfaces sont des polytopes réguliers de même type et si tous ses sommets reçoivent le même nombre d'hyperfaces (cette définition est une définition récursive, partant de celle des polygones réguliers).

Un drapeau étant une suite  de cellules telle que  soit une k-cellule, appartenant à  pour , le polytope est régulier ssi le groupe des isométries laissant le polytope invariant est transitif sur les drapeaux, c'est-à dire qu'il existe toujours une isométrie envoyant un drapeau donné sur un drapeau donné.

On définit le symbole de Schläfli d'un polytope régulier de dimension  par où  est le nombre de k-cellules contenant une (k–2)-cellule donnée dans une (k+1)-cellule du polytope.
est donc le nombre d'arêtes de chaque face
  le nombre de faces aboutissant à chaque sommet d'une 3-cellule
  nombre d'hyperfaces entourant une n-3-cellule du polytope,
et les hyperfaces du polytope sont de symbole de Schläfli .

La base de calotte (ou figure de sommets) du polytope régulier est le polytope convexe engendré par les sommets voisins d'un sommet donné, la calotte étant l'hyperpyramide de base ce polytope et de sommet le sommet considéré. La base de calotte est un polytope régulier de dimension n–1 de symbole de Schläfli . La connaissance de la calotte permette de reconstituer entièrement le polytope régulier.

Il existe 3 familles de polytopes réguliers en toute dimension :
 
 

nom	symbole de Schläfli	base de calotte	nombre de sommets	nombres de k-cellules	nombre d'hyperfaces	remarque
hypertétraèdre (ou simplexe) régulier	{3, 3, ...., 3}	hypertétraèdre	n +1	simplexes de dimension k	n + 1 simplexes de dimension n–1	autodual
hypercube	{4, 3, ...., 3}	hypertétraèdre	2n	hypercubes de dimension k	2n  hypercubes de dimension n–1	dual du suivant
hyperoctaèdre,  ou cocube, ou orthoplexe	{3, ...., 3, 4}	hyperoctaèdre	2n	simplexes de dimension k	2n simplexes de dimension n-1	dual du précédent

Il est remarquable qu'en dimension supérieure ou égale à 5, il n'existe que ces 3 polytopes réguliers, alors qu'il en existe une infinité en dimension 2, 5 en dimension 3, et 6 en dimension 4.

Il n'existe pas non plus de polytope régulier étoilé non convexe en dimension supérieure ou égale à 5.
 

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2010