Objets étudiés par Ludwig Schläfli à partir de 1850, par W. Stringham en 1880 et Alicia Boole Stott en 1900. Autres sites : en.wikipedia.org/wiki/Convex_regular_4-polytope www.sub.uni-hamburg.de/opus/volltexte/2004/2196/pdf/Dissertation.pdf web.archive.org/web/20070204075028/members.aol.com/Polycell/uniform.html

Un polytope de dimension 4 est dit régulier si toutes ses cellules sont des polyèdres réguliers de même type et si tous ses sommets reçoivent le même nombre de cellules.

Il existe à similitude près six 4-polytopes réguliers (théorème de Schläfli), qui sont donc les analogues quadridimensionnels des polyèdres de Platon. Chaque polytope est apparenté à un polyèdre régulier (d'où son nom : "hyper" suivi du nom du polyèdre) sauf un : l'hypergranatoèdre.

Rem : le symbole de Schläfli du polytope est une expression de la forme {p, q, r} où r est le nombre de polyèdres entourant chaque arête, et {p,q} le symbole de Schläfli de ces polyèdres.
 
 

nom	symbole de Schläfli	base de calotte	nombre de sommets	nombres d'arêtes	nombre de faces	nombre de cellules	remarque
hypertétraèdre (ou simplexe) 4D  ou pentachore ou 5 cellules	{3, 3, 3}	tétraèdre	5	10	10 triangles	5 tétraèdres	autodual
hypercube 4D ou tesseract ou octachore ou 8 cellules	{4, 3, 3}	tétraèdre	16	32	24 carrés	8 cubes	dual du suivant
hyperoctaèdre 4D ou 4-cocube, ou hexadécachore ou 16 cellules	{3, 3, 4}	octaèdre	8	24	32 triangles	16 tétraèdres	dual du précédent
hypergranatoèdre ou icositétrachore ou 24 cellules	{3, 4, 3}	cube	24	96	96 triangles	24 octaèdres	autodual
hyperdodécaèdre ou hécatonicosachore ou 120 cellules	{5, 3, 3}	tétraèdre	600	1200	720 pentagones	120 dodécaèdres	dual du suivant
hypericosaèdre ou hexacosichore ou 600 cellules	{3, 3, 5}	icosaèdre	120	720	1200 triangles	600 tétraèdres	dual du précédent

Il est remarquable qu'en dimension supérieure ou égale à 5, il n'existe plus que 3 polytopes réguliers.

Données du polychore régulier en fonction du symbole de Schläfli {p, q, r} :

Pour chaque sommet :
 

Nombre d'arêtes	nombre de faces	nombre de cellules

 Relations entre les nombres totaux de sommets S, arêtes A, faces F, cellules C :
;  ; .

Voir aussi les polychores semi-réguliers et les polychores réguliers étoilés.
 
 

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2012