Un hypertétraèdre de dimension 4 est un polytope de dimension 4 ayant 5 sommets, nombre minimal possible. C'est donc l'analogue en dimension 4 du tétraèdre en dimension 3, d'où son nom. Il n'en existe qu'un seul type, équivalent à l'hypertétraèdre régulier dont voici la carte de visite :
 

Autres noms	simplexe de dimension 4, C5, 5 cellules, pentachore, pentatope ("régulier" étant en général sous-entendu)
Famille	polychores réguliers
Symbole de Schläfli	{3, 3, 3} (3 tétraèdres autour de chaque arête)
Dual	lui-même
Cellules	5 tétraèdres
Sommets	5 sommets ; à chaque sommet aboutissent 4 arêtes, 6 faces et 4 cellules
Base de calotte	tétraèdre
Arêtes	10 arêtes de longueur a ; chaque arête est commune à 3 faces et à 3 cellules
Faces	10 triangles ; chaque face est commune à 2 cellules
Patron	4 tétraèdres régulier accolés à chaque face d'un cinquième. Pour reconstituer l'hypertétraèdre, il faut coller chaque face libre à chaque face adjacente.
Graphe des arêtes	le graphe complet K5 , graphe eulérien mais non planaire (ne peut être représenté dans un plan sans croisement) : ici, une vue avec un seul croisement
Diamètres	hypersphère inscrite (passant par les centres des cellules) : ; hypersphère circonscrite :
Mensurations	hypervolume de l'hypertétraèdre plein : volume de sa frontière :
Coordonnées  des sommets	les plus simples, mais dans l'hyperplan  de  : (arête de longueur , centre = ) dans  :  (arête de longueur a = 1, centre O) ou encore  (arête de longueur , centre O)
Groupe des isométries	isomorphe à S5, d'ordre 5! = 120
Sites	fr.wikipedia.org/wiki/Pentachore www.polytope.de/c5.html mathematische-basteleien.de/hypertetrahedron.htm

 

De même que la projection orthogonale des sommets d'un 3-simplexe régulier (alias triangle équilatéral) sur l'un de ses côtés est formée d'un bipoint plus son centre....	... et que la projection orthogonale des sommets  d'un 3-simplexe (alias tétraèdre) régulier sur une de ses faces est formée d'un triangle équilatéral plus son centre,...	...la projection orthogonale des sommets d'un 4- simplexe (alias hypertétraèdre) régulier sur une de ses cellules est formée des sommets d'un tétraèdre régulier plus son centre :

 

La projection orthogonale des sommets d'un triangle équilatéral sur une droite orthogonale à la droite passant par le milieu d'un côté et le troisième sommet est formée d'un bipoint plus son centre

La projection orthogonale des sommets d'un tétraèdre régulier sur un plan orthogonal à la droite passant par les milieux de deux arêtes opposées est formée des sommets d'un carré

La projection orthogonale des sommets d'un hypertétraèdre régulier sur un hyperplan orthogonal à la droite passant par le milieu d'une arête et le centre de gravité de la face opposée est formée des sommets d'une bipyramide de base équilatérale à faces isocèles. Coordonnées des sommets : Vue ci-dessous :

dans cette projection, les images des 5 cellules se regroupent en deux types de tétraèdres isométriques :

 

De même que si l'on fait tourner un tétraèdre autour de la droite joignant les milieux de deux arêtes et que l'on projette sur un plan contenant cette droite, on obtient l'animation :

Si l'on fait maintenant tourner un hypertétraèdre autour du plan passant par les milieux de quatre de ses arêtes et que l'on projette sur un hyperplan contenant ce plan, on obtient l'animation :

 

Tout ensemble de 5 points et des segments les joignant peut être considéré comme l'image affine des sommets et des arêtes de l'hypertétraèdre régulier ; par exemple 5 points aux sommets d'un pentagone régulier comme ci-contre. (mais existe-t-il une projection orthogonale envoyant les sommets de l'hypertétraèdre régulier sur ceux d'un pentagone régulier ????)

Voir aussi l'hypertétraèdre de dimension n.

Question judicieuse de Gérard Lavau : dans l'espace euclidien de dimension 4, je considère les sommets d'un  polytope régulier à 5 sommets (un hypertétraèdre, quoi), ainsi que leurs symétriques par rapport au centre. Je prends l'enveloppe convexe des 10 sommets. J'obtiens un polytope qui, sauf erreur, possède :  10 sommets, 40 arêtes,  60 faces planes triangulaires,  30 faces tridimensionnelles tétraèdriques. Est-ce que ce machin a un nom ?
 
 

polyèdre suivant

polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2012