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HYPERCUBE DE DIMENSION 4 ou TESSERACT
Les images Povray de cette page ont été réalisées par Alain Esculier. |
Coordonnées des sommets regroupés par arêtes :
[[-1,-1,-1,-1],[1,-1,-1,-1]],[[1,-1,-1,-1],[1,1,-1,-1]],[[1,1,-1,-1],[1,1,1,-1]],[[1,1,1,-1],[1,1,1,1]],[[1,1,-1,-1],[1,1,-1,1]],[[1,1,-1,1],[1,1,1,1]],[[1,-1,-1,-1],[1,-1,1,-1]],[[1,-1,1,-1],[1,1,1,-1]],[[1,-1,1,-1],[1,-1,1,1]],[[1,-1,1,1],[1,1,1,1]], [[1,-1,-1,-1],[1,-1,-1,1]],[[1,-1,-1,1],[1,1,-1,1]],[[1,-1,-1,1],[1,-1,1,1]],[[-1,-1,-1,-1],[-1,1,-1,-1]],[[-1,1,-1,-1],[1,1,-1,-1]],[[-1,1,-1,-1],[-1,1,1,-1]],[[-1,1,1,-1],[1,1,1,-1]],[[-1,1,1,-1],[-1,1,1,1]],[[-1,1,1,1],[1,1,1,1]], [[-1,1,-1,-1],[-1,1,-1,1]],[[-1,1,-1,1],[1,1,-1,1]],[[-1,1,-1,1],[-1,1,1,1]],[[-1,-1,-1,-1],[-1,-1,1,-1]],[[-1,-1,1,-1],[1,-1,1,-1]],[[-1,-1,1,-1],[-1,1,1,-1]],[[-1,-1,1,-1],[-1,-1,1,1]],[[-1,-1,1,1],[1,-1,1,1]],[[-1,-1,1,1],[-1,1,1,1]], [[-1,-1,-1,-1],[-1,-1,-1,1]],[[-1,-1,-1,1],[1,-1,-1,1]],[[-1,-1,-1,1],[-1,1,-1,1]],[[-1,-1,-1,1],[-1,-1,1,1]] |
Étymologie | tesseract (ou tessaract) : du grec tessares "quatre" ; ce nom a été donné par Charles Howard Hinton en 1888. | |||||||
Autres noms | 4-cube, 4-hypercube, 8 cellules, C8, octachore, octatope. | |||||||
Définitions | polychore (=
4-polytope) dont toutes les cellules sont des cubes
ou dont toutes les faces sont des carrés,
parallélochore à arêtes de mêmes longueur |
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Famille | polychore régulier | |||||||
Dual | hyperoctaèdre de dimension 4 | |||||||
Symbole de Schläfli | {4, 3, 3} (3 cubes autour de chaque arête) | |||||||
Cellules | 8 cubes | |||||||
Faces | 24 carrés | |||||||
Arêtes | 32 arêtes de longueur a appartenant chacune à 3 faces et à 3 cellules. | |||||||
Sommets | 16 sommets appartenant chacun à 4 arêtes, 6 faces, et 4 cellules. | |||||||
Base de calotte | tétraèdre | |||||||
Patron |
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Graphe des arêtes |
Voir diverses représentations planes de ce graphe à 16 sommets régulier de degré 4 sur mathworld. |
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Diamètres | hypersphère inscrite : a ; hypersphère circonscrite : 2a | |||||||
Mensurations | hypervolume de l'hypercube plein : a4 volume de sa frontière : 8 a3 | |||||||
Coordonnées
des sommets |
avec ,
ou avec
xi=
0 ou a.
2 sommets sont donc reliés par une arête
ss'ils ne diffèrent que d'une coordonnée ;
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Groupe des isométries |
ordre 384 = 27.3 = 24.4! | |||||||
Pavage | Comme ses analogues en toutes dimensions, le 4-hypercube pave l'espace, mais contrairement à la dimension 3 où le cube est le seul polyèdre régulier à paver l'espace, en dimension 4, il est accompagné par l'hyperoctaèdre et l'hypergranatoèdre. | |||||||
Sites | fr.wikipedia.org/wiki/Hypercube
www.polytope.de/c8.html mathematische-basteleien.de/hypercube.htm |
Projection affine de l'hypercube 4D avec indication des huit cellules. |
Un segment translaté donne un carré, qui translaté donne un cube, qui translaté donne un hypercube 4D etc.... |
Les coordonnées des sommets d'un hypercube 4D de diagonale [(0,0,0,0) (1,1,1,1)] écrites sans parenthèses donnent les entiers de 0 à 15 écrits en binaire. Ceci permet un codage simple de ces sommets. |
Ci-contre une figure montrant quelles faces se recollent
entre elles lorsqu'on passe du patron à l'hypercube. Ceci s'effectue
par des rotations autour de faces de chaque cube en dimension 4.
Au milieu, le célèbre tableau de Dali (1954) "crucifixion" sous-titré "Corpus Hypercubus" où la croix est remplacée par un patron d'hypercube. A droite, mosaïque de Luigi La Ferla " L' APPARENCE DE LA LUMIÈRE 2022". |
De même que la perspective (c'est-à-dire
la perspective conique plane) d'un cube vu de face donne la figure ci-contre
à gauche, la perspective conique d'un hypercube 4D sur un hyperplan
parallèle à une cellule, elle même projetée
(affinement cette fois) sur un plan, donne la figure de droite.
On remarquera que de même que la perpective du cube ne donne que 5 faces apparentes (la sixième recouvre les autres), la perspective de l'hypercube ne donne que 7 cellules apparentes (la huitième englobe les autres). |
Un projection conique inhabituelle de l'hypercube, en tétraèdre régulier : 4 des huit cubes se projettent en des hexaèdres et les 4 autres dégénèrent en des tétraèdres. L'observateur est placé en un sommet de l'hypercube et le regarde suivant une diagonale. |
De la même façon qu'un cube plein se projette
orthogonalement sur le plan orthogonal à une grande diagonale en
un hexagone régulier plein, un hypercube 4D plein se projette sur
l'hyperplan orthogonal à une grande diagonale en un dodécaèdre
rhombique plein.
Dans l'anaglyphe ci-contre, à regarder avec des lunettes rouge (à gauche) et bleu (à droite) , on essaiera de distinguer les 8 parallélépipèdes projetés des 8 cellules cubiques de l'hypercube. Voir aussi ce site : dogfeathers.com/mark/rhdodec.html |
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La section d'un hypercube 4D par l'hyperplan contenant les quatre sommets voisins d'un sommet donné est, elle, un tétraèdre régulier. |
Un hypercube est en rotation autour d'un plan (oui, d'un plan...) ; cet hypercube est projeté orthogonalement sur un hyperplan (donc un espace de dimension 3), et cette image est projetée sur le plan de votre écran : |
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Projection affine plane avec passages "dessus" pour les arêtes les plus proches (logo de la start-up hypercube) : essayer de voir les huit cellules, 3 par arêtes. |
L'architecte de la grande arche de la Défense a-t-il pensé à l'hypercube en la concevant ? |
"Ipercubo", sculpture d'Attilio Pierelli. |
Des boucles d'oreilles avec patron d'hypercube
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© Robert FERRÉOL 2017