4-cocube

HYPEROCTAÈDRE DE DIMENSION 4
16-cell, 16-Zeller
Image réalisée par Alain Esculier.

L'hyperoctaèdre de dimension 4 est l'analogue en dimension 4 de l'octaèdre en dimension 3.

Autres noms 4-cocube, "16 cellules", C₁₆, hexadécachore, hexadécatope, 4-orthoplexe

Famille polychore régulier et cocube

Dual hypercube de dimension 4

Symbole de Schläfli {3, 3, 4} (4 tétraèdres autour de chaque arête)

Cellules 16 tétraèdres

Faces 32 triangles

Arêtes 24 arêtes de longueur a appartenant chacune à 4 faces et à 3 cellules.

Sommets 8 sommets appartenant chacun à 6 arêtes, 12 faces, et 8 cellules.

Base de calotte octaèdre

Patron

Graphe des arêtes
graphe complet privé d'un couplage parfait, donc régulier de degré 6.

Diamètres hypersphère inscrite : a /; hypersphère circonscrite : a .

Mensurations hypervolume de l'hyperoctaèdre plein :
volume de sa frontière :

Coordonnées
des sommets (,0,0,0) et ses permutés, avec .
Les 4 sommets d'une cellule sont formés de 4 points où la coordonnée non nulle n'est pas à la même place.
Équation cartésienne de l'hyperoctaèdre plein : , donnant la réunion des cellules pleines, autrement dit la frontière de l'hyperoctaèdre plein.

Groupe des isométries ordre 384 = 2⁷.3 = 2⁴.4!

Pavage L'hyperoctaèdre pave l'espace de dimension 4.

Sites fr.wikipedia.org/wiki/Hexadécachore
www.polytope.de/c16.html

De la dimension 1 à la dimension 2, un segment (1-cocube) devient un carré (2-cocube) De la dimension 2 à la dimension 3, un carré (2-cocube) devient un octaèdre (3-cocube) De la dimension 3 à la dimension 4, un octaèdre (3-cocube) devient un hyperoctaèdre (4-cocube)

de même que l'octaèdre est formé de deux pyramides à bases carrées, l'hyperoctaèdre est formé de deux hyperpyramides à bases octaédrales

Dans les animations ci-dessus, trois des projetés des axes de symétrie de l'hyperoctaèdre sont deux à deux orthogonaux, mais le projeté du 4ème n'est pas orthogonal aux autres ; dans les animations ci-dessous, les projetés des 4 axes sont équirépartis suivant les diagonales d'un cube ; défaut : les carrés et octaèdres nne sont plus réguliers...

De même que le carré (2-cocube) est formé d'une armature... et que l'octaèdre (3-cocube) est formé d'une armature ...

...de deux segments orthogonaux

...de 3 segments orthogonaux 2 à 2... ...ou de 3 carrés orthogonaux 2 à 2,

l'hyperoctaèdre (4-cocube) est formé d'une armature ...

...de 4 segments orthogonaux 2 à 2 de 6 carrés orthogonaux 2 à 2
ou de 4 octaèdres orthogonaux 2 à 2
un seul des 4 octaèdres représentés, avec ses 8 faces ; les 3 octaèdres restants fournissent les 24 faces restantes de l'hyperoctaèdre.

De même que la perspective (c'est-à-dire la perspective conique plane) d'un octaèdre sur un plan parallèle à une face donne la figure ci-dessous (un triangle inséré dans un triangle), la perspective conique d'un hyperoctaèdre 4D sur un hyperplan parallèle à une cellule, elle même projetée (affinement cette fois) sur un plan, donne la figure ci-dessous (un tétraèdre inséré dans un tétraèdre).

De même que le tétraèdre est un demi-cube, l'hyperoctaèdre est un demi-hypercube, en ce sens qu'on peut le construire en ne prenant qu'un sommet sur deux de l'hypercube ; 8 des 16 cellules de l'hyperoctaèdre sont alors les demi-cellules de l'hypercube.

Voir aussi l'hyperoctaèdre de dimension quelconque.

polyèdre suivant polyèdre précédent courbes 2D courbes 3D surfaces fractals polyèdres

Autres noms	4-cocube, "16 cellules", C₁₆, hexadécachore, hexadécatope, 4-orthoplexe
Famille	polychore régulier et cocube
Dual	hypercube de dimension 4
Symbole de Schläfli	{3, 3, 4} (4 tétraèdres autour de chaque arête)
Cellules	16 tétraèdres
Faces	32 triangles
Arêtes	24 arêtes de longueur a appartenant chacune à 4 faces et à 3 cellules.
Sommets	8 sommets appartenant chacun à 6 arêtes, 12 faces, et 8 cellules.
Base de calotte	octaèdre
Patron
Graphe des arêtes	graphe complet privé d'un couplage parfait, donc régulier de degré 6.
Diamètres	hypersphère inscrite : a /; hypersphère circonscrite : a .
Mensurations	hypervolume de l'hyperoctaèdre plein : volume de sa frontière :
Coordonnées des sommets	(,0,0,0) et ses permutés, avec . Les 4 sommets d'une cellule sont formés de 4 points où la coordonnée non nulle n'est pas à la même place. Équation cartésienne de l'hyperoctaèdre plein : , donnant la réunion des cellules pleines, autrement dit la frontière de l'hyperoctaèdre plein.
Groupe des isométries	ordre 384 = 2⁷.3 = 2⁴.4!
Pavage	L'hyperoctaèdre pave l'espace de dimension 4.
Sites	fr.wikipedia.org/wiki/Hexadécachore www.polytope.de/c16.html

De la dimension 1 à la dimension 2, un segment (1-cocube) devient un carré (2-cocube)	De la dimension 2 à la dimension 3, un carré (2-cocube) devient un octaèdre (3-cocube)	De la dimension 3 à la dimension 4, un octaèdre (3-cocube) devient un hyperoctaèdre (4-cocube)
		de même que l'octaèdre est formé de deux pyramides à bases carrées, l'hyperoctaèdre est formé de deux hyperpyramides à bases octaédrales

De même que la perspective (c'est-à-dire la perspective conique plane) d'un octaèdre sur un plan parallèle à une face donne la figure ci-dessous (un triangle inséré dans un triangle),	la perspective conique d'un hyperoctaèdre 4D sur un hyperplan parallèle à une cellule, elle même projetée (affinement cette fois) sur un plan, donne la figure ci-dessous (un tétraèdre inséré dans un tétraèdre).

De même que le tétraèdre est un demi-cube,	l'hyperoctaèdre est un demi-hypercube, en ce sens qu'on peut le construire en ne prenant qu'un sommet sur deux de l'hypercube ; 8 des 16 cellules de l'hyperoctaèdre sont alors les demi-cellules de l'hypercube.