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PAVAGE PAR DES POLYTOPES
Polytope tessellation, Raumfüllung mit Polytopen
Un pavage par des polytopes
est un ensemble de polytopes de dimension
n
pleins dont la réunion est égale à l'espace de
dimension n tout entier et qui ne s'intersectent que sur leur frontière.
Il est dit
bord à bord (en anglais : cell to cell) si les
polytopes qui ont une intersection non vide s'intersectent suivant exactement
une n–1 cellule : c'est alors l'équivalent non borné
d'un polytope de dimension n+1.
PAVAGES RÉGULIERS
Un pavage par des polytopes est dit régulier
s'il est bord à bord et que tous ses pavés sont des polytopes
réguliers de même type.
Excepté en dimension 2 et 4, à similitudes
près, il en existe un seul, celui qui est constitué d'hypercubes
; en dimension 2 il y a aussi les pavages triangulaire et hexagonal (duaux
l'un de l'autre), et en dimension 4 le pavage par les hyperoctaèdres
et celui par les hypergranatoèdres,
duaux l'un de l'autre également.
PAVAGES SEMI-RÉGULIERS
Un pavage par des polytopes est dit semi-régulier
s'il est bord à bord, que tous ses pavés sont des polytopes
réguliers, et que tous ses sommets sont identiques (en ce sens que
les pavés arrivant à ces sommets sont disposés exactement
de la même facon).
A similitudes près, et excepté le pavages
par des cubes, il n'en existe qu'un, celui formé par des octaèdres
et des tétraèdres
réguliers.
PAVAGES SEMI-RÉGULIERS DE DEUXIÈME ESPÈCE
Un pavage par des polytopes est dit semi-régulier de deuxième espèce s'il est à bord à bord, que tous ses pavés sont isométriques entre eux, et que toutes les figures formées par les arêtes arrivant à un même sommet sont isométriques entre elles.
A similitudes près, et excepté le pavage
hypercubique, il n'en existe qu'un, le pavage par des dodécaèdres
rhombiques.
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© Robert FERRÉOL
2014