Dans ce site, un polyèdre de l'espace à 3 dimensions E₃ est un ensemble fini non vide de polygones (les faces du polyèdre) situés dans des plans de E₃ , les côtés et sommets de ces faces étant appelés les arêtes et sommets du polyèdre, telles que :
    1) chaque côté de chaque face coïncide avec un côté d'une seule autre face, non coplanaire avec la première.
    2) (condition de connexité) deux faces sont toujours reliées par une suite de faces, chaque face ayant une arête commune avec la suivante.
    3) (condition de non croisement) deux faces n'ont aucun point intérieur en commun.

Un généralisation possible est de supprimer la condition n° 3 : les polyèdres de Poinsot , le tétrahémihexaèdre, sont par exemple de tels "polyèdres".
La réunion des faces pleines est alors l'immersion d'une surface topologique, qui, contrairement aux polyèdres non généralisés, n'est plus forcément homéomorphe à un tore percé de trous, mais peut être une surface unilatère, comme par exemple pour le polyèdre de Brehm.

Une généralisation plus forte est d'accepter de plus que les faces elles-mêmes soient des polygones croisés (dans ce site, un polygone est implicitement non croisé) : les polyèdres de Képler sont alors de ce type, que nous désignons par "polyèdre étoilé".

Voir les polyèdres de Badoureau-Coxeter qui sont les polyèdres étoilés semi-réguliers non réguliers et non convexes autres que les prismes ou les antiprismes.

On projette alors chaque face sur la sphère et le nombre de "couches" est l'espèce E du polyèdre.

L'espèce vaut 1 ssi le polyèdre sphérique est tagada () ; sinon, le polyèdre est dit étoilé.

Une autre généralisation consiste à accepter des faces non planes : c'est ce qui arrive parfois lors du chanfreinage.
 
 
 

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© Robert FERRÉOL 2008