Albert Badoureau (1853-1923) : ingénieur et mathématicien français. Harold Scott MacDonald Coxeter (1907 - 2003) : mathématicien anglais. Polyèdres de Badoureau découverts par ... Badoureau en 1881. Polyèdres de Coxeter découverts par... Coxeter et Miller en 1932 (numéros 32, 40, 43, 46, 50, 57, 60, 64, 69, 72, 74, 75 ci-après). Preuve que ce sont les seuls polyèdres semi-réguliers étoilés par S.P. Sopov en 1970.

Sites : fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_poly%C3%A8dres_uniformes www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html www.singsurf.org/polyhedra/uniform.php www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/ www.software3d.com/Uniform.php

Les polyèdres de Badoureau-Coxeter sont les polyèdres étoilés non convexes et semi-réguliers (ou uniformes) non réguliers, autres que les prismes et les antiprismes.
Ce sont donc les analogues étoilés des polyèdres archimédiens.
Ils sont au nombre de 53, dont 37 découverts par Badoureau.

2 ont les symétries du tétraèdre :
 

Nom officiel + rang dans la liste des polyèdres uniformes	construction	code de Schläfli Symbole de Whytoff	faces	sommets	Car. d'Euler  Poincaré	figure
octahémioctaèdre U3	Mêmes sommets et arêtes que le cuboctaèdre	6.3.6.3 (3/2 3|3)	8 triangles 4 hexagones	12	0
tétrahémihexaèdre U4	Mêmes sommets et arêtes que l'octaèdre	4.3.4.3 (3/2 3|2)	4 triangles 3 carrés	6	1 unilatère

9 ont les symétries du cube :
 

Nom officiel + rang dans la liste des polyèdres uniformes	construction	code de Schläfli Symbole de Whytoff	faces	sommets	Caract. d'Euler  Poincaré	figure
petit cubicuboctaèdre U13	Mêmes sommets et arêtes que le rhombicuboctaèdre	3.8.4.8 (3 4|4)	8 triangles 6 carrés 6 octogones	24	-4
grand cubicuboctaèdre U14	Mêmes sommets que le cube tronqué	3.8/3.4.8/3 (3 4|4/3)	8 triangles 6 carrés 6 octogones étoilés ..................	24	-4
cubohémioctaèdre U15	Mêmes sommets et arêtes que le cuboctaèdre	4.6.4.6 (4 4|3)	6 carrés 4 hexagones	12	-2 unilatère
cuboctaèdre cubitronqué U16	Mêmes sommets qu'un "pseudo" cuboctaèdre tronqué	8/3.6.8 (4/3 3 4|)	8 hexagones 6 octogones 6 octogones étoilés	48	- 4
grand rhombicuboctaèdre U17	Mêmes sommets que le cube tronqué	3.43 (3 4|2)	8 triangles 18 carrés	24	2
petit rhombihexaèdre U18	Mêmes sommets et arêtes que le rhombicuboctaèdre	4.8.4.8 (3/2 2 4|) ?? ou  (4 4|4)	12 carrés 6 octogones	24	- 6 unilatère
cube tronqué étoilé  U19	Mêmes sommets que le rhombicuboctaèdre	3.(8/3)2 (2 3|4/3)	8 triangles 6 octogones étoilés	24	2
grand cuboctaèdre tronqué U20	Mêmes sommets qu'un "pseudo" cuboctaèdre tronqué	4.6.8/3 (2 3 4/3|)	12 carrés 8 hexagones 6 octogones étoilés	48	2
grand rhombihexaèdre U21	Mêmes sommets que le cube tronqué	8/3.4.8/3.4 2 4/3 (3/2 4/2) ????|	12 carrés  6 octogones étoilés	24	-6

42 ont les symétries du dodécaèdre :
 

Nom officiel + rang dans la liste des polyèdres uniformes	construction	code de Schläfli	faces	sommets	Car. d'Euler  Poincaré	figure
petit icosidodécaèdre ditrigonal U30	mêmes sommets que le dodécaèdre	5/2.3.5/2.3.5/2.3 (3|5/2 3)	32	20	-8
petit icosicosidodécaèdre U31 découvert par Pitsch	mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre	5/2.6.3.6 (5/2 3|3)	52	60	-8
petit icosicosidodécaèdre adouci  U32 découvert par Coxeter	mêmes sommets qu'un pseudo icosaèdre tronqué	3.5/2.34 (|5/2 3 3)	112	60	-8
petit dodécicosidodécaèdre U33	mêmes sommets et arêtes que le rhombicosidodécaèdre	3.10.5.10 (3/2 5|5)	44	60	-16
(grand) dodécadodécaèdre U36	mêmes sommets que l'icosidodécaèdre	(5/2.5)2 (2|5/2 5)	24	30	-6
grand dodécaèdre tronqué U37 découvert par Pitsch	grand dodécaèdre faiblement tronqué	10.5/2.10 (2 5/2|5)	24	60	-16
rhombidodécadodécaèdre U38	grand dodécaèdre chanfreiné	5/2.4.5.4 (5/2 5|2)	54	60	-6
petit rhombidodécaèdre U39	mêmes sommets et arêtes que le rhombicosidodécaèdre	4.10.4.10 2 5 (3/2 5/2) | ???	42	60	-18
dodécadodécaèdre adouci U40  découvert par Coxeter		3.5/2.3.5.3 (|2 5/2 5)	84	60	-6
dodécadodécaèdre ditrigonal  U41	mêmes sommets que le dodécaèdre	5/2.5.5/2.5.5/2.5 (3|5/2 5)	24	20	-16
grand  dodécicosidodécaèdre ditrigonal  U42	mêmes sommets que le dodécaèdre tronqué	3.10/3.5.10/3 (3 5|5/3)	44	60	-16
petit  dodécicosidodécaèdre ditrigonal  U43 découvert par Coxeter	mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre	5/2.10.3.10 (5/2 3|5)	44	60	-16
icosidodécadodécaèdre U44	mêmes sommets et arêtes que U38	5/2.6.5.6 (5/2 5|3)	44	60	-16
dodécadodécaèdre icositronqué U45	mêmes sommets qu'un pseudo icosidodécaèdre tronqué	10/3.6.10 (5/3 3 5|)	44	120	-16
icosidodécadodécaèdre adouci  U46 découvert par Coxeter		5/2.33.5.3 (|5/3 3 5)	104	60	-16
grand icosidodécaèdre ditrigonal U47	mêmes sommets que le dodécaèdre	(3.5)3 (3/2|3 5) ?	32	20	-8
grand icosicosidodécaèdre U48	mêmes sommets que le dodécaèdre tronqué	3.6.5.6 (3/2 5|3)	52	60	-8
petit icosihémidodécaèdre U49	mêmes sommets et arêtes que l'icosidodécaèdre	3.10.3.10 (3/2 3|5)	26	30	-4
petit dodécicosaèdre  U50  découvert par Coxeter	mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre	6.10.6.10 3 5 (3/2 5/4) | ??	32	60	-28
petit dodécahémidodécaèdre U51	mêmes sommets et arêtes que l'icosidodécaèdre	5.10.5.10 (5 5|5)	18	30	-12
grand icosidodécaèdre U54	grand icosaèdre fortement tronqué	(5/2.3)2 (2|5/2 3)	32	30	2
grand icosaèdre tronqué U55  découvert par Pitsch	grand icosaèdre  tronqué	6.5/2.6 (2 5/2|3)	32	60	2
rhombicosaèdre U56	mêmes sommets et arêtes que U38	4.6.4.6 2 3 (5/4 5/2) | ??	50	60	-10
grand icosidodécaèdre adouci U57 découvert par Coxeter	mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre	5/2.34 (|2 5/2 3)	92	60	-8
petit dodécaèdre tronqué étoilé  U58	mêmes sommets que le rhombicosidodécaèdre	10/3.5.10/3 (2 5|5/3)	24	60	-6
dodécadodécaèdre tronqué U59	mêmes sommets qu'un pseudo icosidodécaèdre tronqué	10/3.4.10 (5/3 2 5|)	54	120	-6
dodécadodécaèdre adouci inversé  U60 découvert par Coxeter	mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre	5/2.32.5.3 (|5/2 2 5)	84	60	-6
grand dodécicosidodécaèdre  U61	mêmes sommets que le grand dodécaèdre tronqué	5/2.10/3.3.10/3 (5/2 3|5/3)	42	60	-16
petit dodécahémicosaèdre  U62	mêmes sommets que l'icosidodécaèdre	(6.5/2)2 (5/3 5/2|3)	22	30	-8
grand dodécicosaèdre U63	mêmes sommets que le dodécaèdre tronqué	(6.10/3)2 3 5/3 (3/2 5/2) | ??	32	60	-28
grand dodécicosidodécaèdre adouci U64 découvert par Coxeter	mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre	5/2.3.5/2.33 (|5/2 5/2 3)	104	60	-16
grand dodécahémicosaèdre U65	mêmes sommets que l'icosidodécaèdre	(5.6)2 (5 5|3)	22	30	-8
grand dodécaèdre tronqué étoilé  U66 découvert par Pitsch	mêmes sommets que le petit icosicosidodécaèdre	10/2.3.10/3 (2 3|5/3)	32	60	2
grand rhombicosidodécaèdre U67	mêmes sommets que le grand dodécaèdre tronqué	5/2.4.3.4 (5/2 3|2)	62	60	2
grand icosidodécaèdre tronqué U68	mêmes sommets que l'icosidodécaèdre tronqué	10/3.4.6 (5/3 2 3|)	62	120	2
grand icosidodécaèdre adouci inversé  U69 découvert par Coxeter		5/2.34 (|5/2 2 3)	112	60	-8
grand dodécahémidodécaèdre U70	mêmes sommets que l'icosidodécaèdre	(5/2.10/3)2 (5/2 5/2|5/3)	18	30	-12
grand icosihémidodécaèdre U71	mêmes sommets que l'icosidodécaèdre	(3.10/3)2 (3 3|5/3)	26	30	-4
petit icosicosidodécaèdre rétroadouci  U72 découvert par Coxeter		(5/2.35)/2 (|3 3 5/2)	112	60	-8
grand rhombidodécaèdre U73	mêmes sommets que le grand dodécaèdre tronqué	4.10/3.4.10/3 2 5/3 (3/2 5/4) |??	42	60	-18
grand icosidodécaèdre rétroadouci U74 découvert par Coxeter		(34.5/2)/2  (|3 5/2 2)	92	60	-28
grand dirhombicosidodécaèdre U75 découvert par Coxeter	mêmes sommets qu'un pseudo rhombicosidodécaèdre	4.5/2.4.3.4.5/2.4.3 (|3/2 5/3 3 5/2)	124	60	-56

Il existe un 43-ième "polyèdre" de ce type, appelé grand dirhombidodécaèdre disadouci, ou polyèdre de Skilling, si on accepte que des paires d'arêtes coïncident.
 
 

L'orfèvre Wentzel Jamnitzer a publié en 1568 un ouvrage, Perspectiva corporum regularium, dans lequel se trouvent une multitudes de gravures représentant des variations autour des polyèdres réguliers. Par exemple ce tétraèdre tronqué où les faces hexagonales sont remplacées par des étoiles à 6 branches. Malgré les similitudes avec les polyèdres de Badoureau, les hexagones étoilés ne sont pas des polygones simples, donc cet élégant objet ne peut qu'être considéré comme un polyèdre à 20 faces non convexes, et non régulières...

 

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polyèdre précédent

courbes 2D

courbes 3D

surfaces

fractals

polyèdres

© Robert FERRÉOL 2014