Octahémioctaèdre

OCTAHÉMIOCTAÈDRE et CUBOHÉMIOCTAÈDRE
Octahemioctahedron and cubohemioctahedron, Oktahemioktaeder und Kubohemioktaeder

	octahémioctaèdre	cubohémioctaèdre
Famille	polyèdre étoilé semi-régulier (ou uniforme U3), ou polyèdre de Badoureau.	idem, U15
Etymologie	octa car il y a 8 faces triangulaires et hemiocta car il y a 8/2 faces hexagonales.	cubo car il y a 6 faces carrées comme pour le cube et hemiocta car il y a 8/2 faces hexagonales.
Dual
faces	8 triangles et 4 hexagones	6 carrés et 4 hexagones
Sommets	12 sommets , de code de Schläfli 3.6.3.6	12 sommets , de code de Schläfli 4.6.4.6
Arêtes	24 arêtes	idem
Construction	cf. celle du cuboctaèdre, qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes.	idem
Groupe des isométries	celui du tétraèdre (si l'on différencie les deux faces de la surface ; sinon, c'est celui de l'octaèdre)	celui de l'octaèdre

L'octahémioctaèdre a pour caractéristique d'Euler-Poincaré 12 + 12 – 24 = 0 et sa surface est orientable (si on part de la surface externe d'un triangle, on peut, en suivant la surface atteindre la surface interne des triangles voisins ou inversement) : sa surface est donc un modèle (comportant des auto-intersections) du tore topologique. Une rotation d'un quart de tour de l'octahémioctaèdre autour d'un axe passant par le centre de deux faces carrées réalise donc le retournement du tore.
Voir la surface du sinus, qui constitue une version différentiable de l'octahémioctaèdre.

Le cubohémioctaèdre a, lui, pour caractéristique d'Euler-Poincaré 10 + 12 – 24 = -2 et sa surface est non orientable (si on part de la surface externe d'un carré, on peut, en suivant la surface atteindre la surface interne des carrés voisins) : sa surface est donc un modèle de la bouteille de Klein munie d'une anse.

octahémioctaèdre
cuboctaèdre
cubohémioctaèdre