Surface considérée et ainsi nommée par Gray en 1997, mais étudiée auparavant ?

 

Paramétrisation cartésienne :. Équation cartésienne :  ou , ou encore. Surface sextique.

 

La surface du sinus est une réunion d'ellipses, comme le montre l'animation ci-contre, et ceci de 3 façons différentes (sections par les plans parallèles aux plans de coordonnées). C'est une surface ayant les symétries du cube, donc pouvant être considérée comme une surface de Goursat généralisée.

En faisant abstraction des 3 segments d'auto-intersection, la surface du sinus est homéomorphe au tore (elle réalise donc une immersion de celui-ci). Mais contrairement au tore géométrique classique où la face interne est cachée, les deux faces de cette surface orientable ont autant de parties visibles que de parties cachées ; et une rotation de  autour de Oz constitue donc un retournement du tore. Remarquons que si l'on oriente la surface, celle-ci ne possède plus que les symétries du tétraèdre ; une symétrie par rapport à xOy par exemple change l'orientation.

Les deux faces de la surface du sinus.

Vue des deux surfaces  constitutives de la surface complète.

 

Vue des 4 surfaces (pour les 4 permutations des signes) constitutives de la surface complète. Chacune touche les 3 autres.

 

Une version polyédrique de la surface du sinus est l'octahémioctaèdre, qui possède les mêmes segments d'auto-intersection.

 

La surface qui, par symétrie, pourrait s'appeler la surface du cosinus :  n'est autre que la partie tétraédrique de la surface de Cayley : .

 

Surface du sinus gravée par Patrice Jeener

 
 

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© Robert FERRÉOL  2011